蒙特卡洛法求定积分 Python

蒙特卡罗方法可以用来估计函数的定积分。其基本思想是利用随机数模拟函数曲线下方的面积，从而得到定积分的近似值。

具体实现步骤如下：

1. 生成随机点：在积分区间内随机生成一定数量的点，可以用 `numpy` 库中的 `random` 模块实现。

2. 判断随机点是否在函数曲线下方：对于每个随机点，判断其纵坐标是否小于函数值，如果小于则认为该点在函数曲线下方。

3. 计算面积：将所有在曲线下方的随机点的数量除以总随机点数量，再乘以积分区间长度，就可以得到定积分的近似值。

下面是一个求 $sin(x)$ 在 $[0, \pi/2]$ 区间内的定积分的 Python 代码示例：

import numpy as np

def f(x):
    return np.sin(x)

a, b = 0, np.pi/2  # 积分区间
n = 10000  # 随机点数量

x = np.random.uniform(a, b, n)  # 生成随机点
y = np.random.uniform(0, 1, n)  # 生成 (0, 1) 之间的随机数

count = sum(y < f(x))  # 统计在曲线下方的随机点数量
integral = count / n * (b - a)  # 计算定积分近似值

print(integral)

需要注意的是，蒙特卡罗方法得到的是近似值，其精度取决于随机点数量。因此，为了提高精度，可以增加随机点数量。同时，对于不同的函数，可能需要调整随机点生成的范围和数量。