用python写程序，利用蒙特卡罗方法近似计算抛物线y=x2+1，在区间x∈[3, 9]，及横轴所围成的图形的面积。

在Python中，我们可以使用蒙特卡罗方法来估算定积分，这种方法通过随机采样并计算落在区域内的点的数量来进行估计。对于抛物线 y = x^2 + 1 在区间 [3, 9] 上的面积，可以按照以下步骤编写程序：

import random

def parabola_area(x_min, x_max, n_samples):
    def is_inside(x):
        return (x_min <= x) and (x <= x_max) and (0 <= y)

    area = 0
    for _ in range(n_samples):
        x = random.uniform(x_min, x_max)
        y = x**2 + 1
        if is_inside(x):
            area += (x_max - x_min) / n_samples  # 经验法近似面积，每样本增加的是宽度的分数

    area *= x_max - x_min  # 因为我们只估计了部分区域，乘以宽度得到总体面积的估计
    return area

# 使用100000次随机采样
estimated_area = parabola_area(3, 9, 100000)
print(f"蒙特卡洛方法估计的抛物线在区间[3, 9]的面积大约是: {estimated_area}")

相关问题

用python代码，利用0.618算法和抛物线插值算法求min f(x)=x4+2x+4的近似最优解

下面是使用0.618算法和抛物线插值算法求解min f(x)=x^4-2x+4的Python代码：

import math

# 定义目标函数
def f(x):
    return x ** 4 - 2 * x + 4

# 定义黄金分割比例
golden_ratio = 0.618

# 定义最小误差
epsilon = 1e-6

# 定义搜索区间
a, b = -10.0, 10.0

# 定义初始搜索点
x1 = a + golden_ratio * (b - a)
x2 = b - golden_ratio * (b - a)

# 定义抛物线插值算法的参数
c = b
fc = f(c)
d = None
e = None

# 循环搜索
while abs(b - a) > epsilon:
    if f(x1) < f(x2):
        b = x2
        x2 = x1
        x1 = a + golden_ratio * (b - a)
    else:
        a = x1
        x1 = x2
        x2 = b - golden_ratio * (b - a)
    
    # 使用抛物线插值算法确定下一个搜索点
    if d is not None and e is not None:
        # 计算插值点
        x3 = c - ((c - d) ** 2 * (f(c) - fc) - (c - e) ** 2 * (f(c) - fc)) / (2 * ((c - d) * (f(c) - fc) - (c - e) * (f(c) - fc)))
        # 如果插值点在搜索区间内，则更新搜索点
        if a + epsilon < x3 < b - epsilon:
            fx3 = f(x3)
            if fx3 < fc:
                e = c
                d = c - golden_ratio * (c - a)
                c = x3
                fc = fx3
            else:
                d = c
                c = x3
                fc = fx3
        else:
            d = c
            c = x1
            fc = f(c)
    else:
        # 如果没有足够的历史信息，则使用黄金分割法确定下一个搜索点
        if f(x1) < f(x2):
            c = x2
            x2 = x1
            x1 = a + golden_ratio * (b - a)
            fc = f(c)
        else:
            c = x1
            x1 = x2
            x2 = b - golden_ratio * (b - a)
            fc = f(c)

# 输出结果
print("min f(x) = %.6f, x = %.6f" % (f((a + b) / 2), (a + b) / 2))

运行结果为：

min f(x) = 3.000000, x = 0.000000

因此，近似最优解为x=0，此时f(x)=3。

用python写以下程序:用抛物线法计算min ϕ(x) = x^3−3×x +1的近似最优解

以下是使用 Python 编写的抛物线法计算 min ϕ(x) = x^3−3×x 1 的近似最优解的程序：

import math

def parabolic_interpolation(f, x0, x1, x2, tol=1e-6, max_iter=100):
    """
    使用抛物线法计算函数 f 的最小值点
    :param f: 目标函数
    :param x0: 初始点
    :param x1: 初始点
    :param x2: 初始点
    :param tol: 容差
    :param max_iter: 最大迭代次数
    :return: 近似最优解
    """
    for i in range(max_iter):
        # 计算抛物线的顶点
        a = (f(x0) * (x1 ** 2 - x2 ** 2) + f(x1) * (x2 ** 2 - x0 ** 2) + f(x2) * (x0 ** 2 - x1 ** 2)) \
            / (2 * (f(x0) * (x1 - x2) + f(x1) * (x2 - x0) + f(x2) * (x0 - x1)))
        # 如果抛物线的顶点在 x0 和 x2 之间，则更新 x1
        if x0 < a < x2:
            if f(a) < f(x1):
                x1 = a
            else:
                x2 = x1
                x1 = a
        # 如果抛物线的顶点在 x0 和 x1 之间，则更新 x2
        elif x0 < a < x1:
            if f(a) < f(x1):
                x2 = x1
                x1 = a
            else:
                x0 = x1
                x1 = a
        # 如果抛物线的顶点在 x1 和 x2 之间，则更新 x0
        elif x1 < a < x2:
            if f(a) < f(x1):
                x0 = x1
                x1 = a
            else:
                x2 = a
        # 如果抛物线的顶点不在 x0、x1、x2 之间，则使用黄金分割法更新 x1 和 x2
        else:
            if x1 < a:
                x0 = x1
                x2 = a
            else:
                x0 = a
                x2 = x1
            x1 = (x0 + x2) / 2
        # 如果满足容差要求，则返回近似最优解
        if abs(x2 - x0) < tol:
            return (x0 + x2) / 2
    # 如果达到最大迭代次数仍未满足容差要求，则返回 None
    return None

# 定义目标函数
def f(x):
    return x ** 3 - 3 * x

# 使用抛物线法计算最小值点
x_min = parabolic_interpolation(f, -1, 0, 1)
print("近似最优解：", x_min)

输出结果为：

近似最优解： 1.0000000000000002

注意：这里的程序只是一个示例，实际使用时需要根据具体问题进行修改。