一个常用的股票价格变化数学模型可以用以下差分方程表示： x n ​ =x n−1 ​ +Δtμx n−1 ​ +σx n−1 ​ Δt ​ r n−1 ​ (1) 其中 x n ​ 是 t n ​ 时刻的股票价格，Δt 是两个时间之间的间隔（Δt＝t n ​ －t n－1 ​ ），μ 是股票价格的增长率，σ 是股票价格的波动率，r 0 ​ ,...,r n－1 ​ 是正态分布的随机数（均值为 0，标准差为单位标准差）。股票的初始价格 x 0 ​ 和μ,σ,Δt 都作为输入数据。 注意：(1)是一个关于连续价格方程 x(t)的随机微分方程的前向欧拉离散化： dt dx ​ =μx+σN(t) 其中 N(t) 是所谓的白噪随机时间序列信号。这样的方程在股票价格的模拟中占有中心地位。请你用 Python 实现(1)。假设 n＝0, …, N（N＝5000步），时间 T＝180 天，步长 Δt＝T/N。 请根据提示，在右侧编辑器补充代码，完成函数编写，通过随机游走模拟股票价格，并绘图。 ∙simulate(p0,mu,sigma,T,N)： 参数 p0,mu,sigma 分别对应公式(1)中的x 0 ​ ,μ,σ,T 表示模拟时间(单位为天数)， N 表示模拟步数（此时，公式(1)中步长Δt＝T/N）；函数返回0..N步内（含N）, 每一步股票价格构成的向量； ∙draw_picture(prices)： 绘制股票价格变化趋势图，并保存图片。 要求： 横轴为模拟步数，坐标轴范围为[-100,5200]；纵轴为股票价格，坐标轴范围为[8,29]； 图片大小设为 8*4 (单位为 inch)；

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

def simulate(p0, mu, sigma, T, N):
    prices = np.zeros(N+1)
    prices[0] = p0
    dt = T/N
    for i in range(1, N+1):
        r = np.random.normal(0, 1)
        prices[i] = prices[i-1] + dt*mu*prices[i-1] + sigma*np.sqrt(dt)*prices[i-1]*r
    return prices

def draw_picture(prices):
    fig, ax = plt.subplots(figsize=(8, 4))
    ax.plot(prices)
    ax.set_xlim([-100, 5200])
    ax.set_ylim([8, 29])
    ax.set_xlabel('Step')
    ax.set_ylabel('Stock Price')
    ax.set_title('Stock Price Simulation')
    plt.savefig('stock_price.png')

使用示例：

prices = simulate(20, 0.1, 0.2, 180, 5000)
draw_picture(prices)

相关问题

编程要求 一个常用的股票价格变化数学模型可以用以下差分方程表示： x n ​ =x n−1 ​ +Δtμx n−1 ​ +σx n−1 ​ Δt ​ r n−1 ​ (1) 其中 x n ​ 是 t n ​ 时刻的股票价格，Δt 是两个时间之间的间隔（Δt＝t n ​ －t n－1 ​ ），μ 是股票价格的增长率，σ 是股票价格的波动率，r 0 ​ ,...,r n－1 ​ 是正态分布的随机数（均值为 0，标准差为单位标准差）。股票的初始价格 x 0 ​ 和μ,σ,Δt 都作为输入数据。 注意：(1)是一个关于连续价格方程 x(t)的随机微分方程的前向欧拉离散化： dt dx ​ =μx+σN(t) 其中 N(t) 是所谓的白噪随机时间序列信号。这样的方程在股票价格的模拟中占有中心地位。请你用 Python 实现(1)。假设 n＝0, …, N（N＝5000步），时间 T＝180 天，步长 Δt＝T/N。 请根据提示，在右侧编辑器补充代码，完成函数编写，通过随机游走模拟股票价格，并绘图。 ∙simulate(p0,mu,sigma,T,N)： 参数 p0,mu,sigma 分别对应公式(1)中的x 0 ​ ,μ,σ,T 表示模拟时间(单位为天数)， N 表示模拟步数（此时，公式(1)中步长Δt＝T/N）；函数返回0..N步内（含N）, 每一步股票价格构成的向量； ∙draw_picture(prices)： 绘制股票价格变化趋势图，并保存图片。 要求： 横轴为模拟步数，坐标轴范围为[-100,5200]；纵轴为股票价格，坐标轴范围为[8,29]； 图片大小设为 8*4 (单位为 inch)； 存储输出图像，图像路径及名字为 src/step4/student/result.png。

以下是代码实现：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

def simulate(p0, mu, sigma, T, N):
    prices = np.zeros(N+1)
    prices[0] = p0
    dt = T/N
    for i in range(1, N+1):
        r = np.random.normal(0, 1)
        prices[i] = prices[i-1] + dt*mu*prices[i-1] + sigma*prices[i-1]*r*np.sqrt(dt)
    return prices

def draw_picture(prices):
    plt.figure(figsize=(8,4))
    plt.plot(np.arange(len(prices)), prices)
    plt.xlim(-100,5200)
    plt.ylim(8,29)
    plt.savefig('src/step4/student/result.png')

if __name__ == '__main__':
    p0 = 10
    mu = 0.1
    sigma = 0.2
    T = 180
    N = 5000
    prices = simulate(p0, mu, sigma, T, N)
    draw_picture(prices)

其中，simulate函数接收股票初始价格p0、增长率mu、波动率sigma、模拟时间T和模拟步数N作为参数，返回一个长度为N+1的numpy数组，表示0到N步内每一步的股票价格；draw_picture函数接收simulate函数返回的numpy数组prices作为参数，绘制股票价格变化趋势图，并保存图片。最后在if __name__ == '__main__':中设置参数并调用函数即可。

采用递归树求解以下递归方程：T(1)=1 T(n)=4T(n/2)+n

递归方程：T(1)=1 T(n)=4T(n/2) n>1

首先，我们可以画出递归树来帮助我们求解该递归方程。
对于递归方程 T(n) = 4T(n/2)，我们可以将其表示成以下递归树：

T(n)
/ \
T(n/2) T(n/2)
/ \ / \
T(n/4) T(n/4) T(n/4) T(n/4)
... ... ... ...

我们可以看到，每一层的节点数为原来的一半，即第 k 层有 2^(k-1) 个节点，因此，我们可以得到该递归树共有 log(n) 层。因此，我们可以得到以下公式：
T(n) = 1 + 4 + 4^2 + ... + 4^(log(n)-1) + 4^log(n)

接下来，我们可以使用等比数列求和公式来简化上式：
T(n) = 1 + 4 + 4^2 + ... + 4^(log(n)-1) + 4^log(n)
= (4^log(n+1) - 1)/(4-1) （等比数列求和公式）
= (2n-1)

因此，最终结果为 T(n) = 2n - 1。