使用Matlab符号计算功能，分别计算$\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{x-\sin x}{x^2(e^x-1)}$，$\displaystyle\int\frac{dx}{(1+x^2)^8}$，$\left[\left(1+\dfrac{1}{\sin x}\right)^{x^2}\right]'$. ```matlab % ```

好的，我会根据您的要求回答您的问题。以下是问题的解答：

1. 计算 $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{x-\sin x}{x^2(e^x-1)}$

我们可以使用洛必达法则来求解这个极限：

$$
\begin{aligned}
\lim_{x\to0}\frac{x-\sin x}{x^2(e^x-1)} &= \lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{2x(e^x-1)+x^2e^x} \\
&= \lim_{x\to0}\frac{\sin x}{2(e^x-1)+2xe^x+x^2e^x} \\
&= \frac{1}{2}
\end{aligned}
$$

因此，$\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{x-\sin x}{x^2(e^x-1)} = \frac{1}{2}$。

2. 计算 $\displaystyle\int\frac{dx}{(1+x^2)^8}$

我们可以使用分部积分法来求解这个积分：

$$
\begin{aligned}
\int\frac{dx}{(1+x^2)^8} &= \int\frac{x^2+1-1}{(1+x^2)^8}dx \\
&= \int\frac{x^2+1}{(1+x^2)^8}dx - \int\frac{dx}{(1+x^2)^8} \\
&= \frac{1}{7}\int\frac{d(1+x^2)^{-7}}{1+x^2} - \frac{x}{7(1+x^2)^7} \\
&= \frac{1}{7}\int\frac{(1+x^2)'d(1+x^2)^{-7}}{(1+x^2)^2-2x^2} - \frac{x}{7(1+x^2)^7} \\
&= \frac{1}{7}\int\frac{-7x}{(1+x^2)(1+x^2)^{-7}}dx - \frac{x}{7(1+x^2)^7} \\
&= -\frac{1}{6(1+x^2)^6} - \frac{x}{7(1+x^2)^7} + C
\end{aligned}
$$

因此，$\displaystyle\int\frac{dx}{(1+x^2)^8} = -\frac{1}{6(1+x^2)^6} - \frac{x}{7(1+x^2)^7} + C$。

3. 计算 $\left[\left(1+\dfrac{1}{\sin x}\right)^{x^2}\right]'$

我们可以使用链式法则和幂函数求导法则来求解这个导数：

$$
\begin{aligned}
\left[\left(1+\dfrac{1}{\sin x}\right)^{x^2}\right]' &= \left(\left(1+\dfrac{1}{\sin x}\right)^{x^2}\right)'\cdot(x^2)' \\
&= \left(\left(1+\dfrac{1}{\sin x}\right)^{x^2}\right)\cdot\left(x^2\cdot\dfrac{1}{\sin x}\cdot(-\csc^2 x)\right) \\
&= \left(1+\dfrac{1}{\sin x}\right)^{x^2}\cdot\dfrac{-x^2}{\sin^3 x}\cdot\cos x
\end{aligned}
$$

因此，$\left[\left(1+\dfrac{1}{\sin x}\right)^{x^2}\right]' = \left(1+\dfrac{1}{\sin x}\right)^{x^2}\cdot\dfrac{-x^2}{\sin^3 x}\cdot\cos x$。

下面是Matlab代码：

syms x;
% 1. 计算极限
limit((x-sin(x))/(x^2*(exp(x)-1)), x, 0)
% 2. 计算积分
int(1/(1+x^2)^8, x)
% 3. 计算导数
diff((1+1/sin(x))^x^2, x)