用C语言实现样条插值法

样条插值法是一种数值分析方法，它通过一系列已知的数据点构建一个函数，该函数在插值区间内具有连续的二阶导数。C语言可以通过以下步骤实现样条插值法：

1. 定义数据点：定义一个包含已知数据点的数组，例如x和y数组，其中x数组包含已知的自变量值，y数组包含已知的因变量值。

2. 求解系数：使用高斯消元法或三对角矩阵算法求解三次样条函数的系数矩阵。可以使用一个名为“tridiagonal”的函数来实现三对角矩阵算法。

3. 求解插值点：使用三次样条函数的系数矩阵和插值点来计算插值函数对应的因变量值。

下面是一个示例代码，用于实现样条插值法：

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <math.h>

#define MAX_POINTS 100

double x[MAX_POINTS], y[MAX_POINTS];
double a[MAX_POINTS], b[MAX_POINTS], c[MAX_POINTS], d[MAX_POINTS];

void tridiagonal(int n, double* a, double* b, double* c, double* r, double* x) {
    int i;
    double m;

    for (i = 1; i < n; i++) {
        m = a[i] / b[i-1];
        b[i] = b[i] - m * c[i-1];
        r[i] = r[i] - m * r[i-1];
    }

    x[n-1] = r[n-1] / b[n-1];

    for (i = n-2; i >= 0; i--) {
        x[i] = (r[i] - c[i] * x[i+1]) / b[i];
    }
}

void spline(int n, double* x, double* y, double* a, double* b, double* c, double* d) {
    int i;
    double h[n-1], alpha[n-1], l[n], mu[n-1], z[n];
    
    for (i = 0; i < n-1; i++) {
        h[i] = x[i+1] - x[i];
        alpha[i] = (3/h[i]) * (y[i+1] - y[i]) - (3/h[i-1]) * (y[i] - y[i-1]);
    }
    
    l[0] = 1;
    mu[0] = 0;
    z[0] = 0;
    
    for (i = 1; i < n-1; i++) {
        l[i] = 2 * (x[i+1] - x[i-1]) - h[i-1] * mu[i-1];
        mu[i] = h[i] / l[i];
        z[i] = (alpha[i] - h[i-1] * z[i-1]) / l[i];
    }
    
    l[n-1] = 1;
    z[n-1] = 0;
    c[n-1] = 0;
    
    for (i = n-2; i >= 0; i--) {
        c[i] = z[i] - mu[i] * c[i+1];
        b[i] = (y[i+1] - y[i]) / h[i] - h[i] * (c[i+1] + 2*c[i]) / 3;
        d[i] = (c[i+1] - c[i]) / (3 * h[i]);
        a[i] = y[i];
    }
}

double interpolate(double x0, int n, double* x, double* y, double* a, double* b, double* c, double* d) {
    int i, j;
    double h, y0;
    
    i = 0;
    j = n-1;
    
    while (j - i > 1) {
        int k = (i + j) / 2;
        
        if (x[k] > x0) {
            j = k;
        } else {
            i = k;
        }
    }
    
    h = x[j] - x[i];
    y0 = ((x[j] - x0) * y[i] + (x0 - x[i]) * y[j]) / h;
    y0 += ((x[j] - x0) * (x[j] - x0) * (x[j] - x0) * d[i] + (x0 - x[i]) * (x0 - x[i]) * (x0 - x[i]) * d[j]) / (6*h);
    y0 += (x0 - x[i]) * b[i] - (x[j] - x0) * b[j];
    
    return y0;
}

int main() {
    int n, i;
    double xi, yi;
    double x0, y0;
    
    printf("请输入数据点数：");
    scanf("%d", &n);
    
    printf("请输入数据点的自变量和因变量：\n");
    
    for (i = 0; i < n; i++) {
        scanf("%lf %lf", &xi, &yi);
        x[i] = xi;
        y[i] = yi;
    }
    
    spline(n, x, y, a, b, c, d);
    
    printf("请输入插值点：");
    scanf("%lf", &x0);
    
    y0 = interpolate(x0, n, x, y, a, b, c, d);
    
    printf("在插值点 %.2lf 处的函数值为：%.2lf\n", x0, y0);
    
    return 0;
}

以上代码实现了样条插值法的主要步骤，包括求解系数、求解插值点等。用户可以根据实际需求，修改代码以适应不同的数据集和插值点。