证明a/b的取整函数大于等于a/b-1+1/b
时间: 2023-03-19 13:21:58 浏览: 86
证明:假设a、b均为正整数且a≥1,b≥2。
则有a/b-1 1/b = (a-b)/b + 1/b
因为a/b的取整函数为向下取整,所以有a/b的取整函数 ≤ a/b - 1/b
要证明a/b的取整函数 ≥ a/b - 1/b,只需证明a/b的取整函数 ≥ (a-b)/b
设a/b的取整函数为k,则k ≤ a/b
又因为k是整数,所以k ≤ a/b < k+1
将不等式两边都乘以b得到bk ≤ a < bk+b
移项得到a-bk < b
因为a-bk是非负整数,所以a-bk ≤ b-1
因此a/b的取整函数k = (a-b)/b + 1 ≥ a/b - 1/b
因此,得证a/b的取整函数大于等于a/b-1 1/b。
相关问题
证明a/b的取整函数小于等于a/b-1+1/b
对于任意实数 a 和正整数 b,我们有以下证明:
设 x = a/b,则 a/b 的取整函数可以表示为 ⌊x⌋,即不大于 x 的最大整数。那么我们可以将 a/b - 1/b 写成 (ab - b)/b,也就是 x - 1/b。
要证明 ⌊x⌋ ≤ x - 1/b,我们可以将 x 拆分成整数部分和小数部分,即 x = n + r,其中 n 是 x 的整数部分,r 是小数部分,满足 0 ≤ r < 1。那么我们有:
x - 1/b = n + r - 1/b
= n + (br - 1)/b
因为 r < 1,所以 br < b,因此 br - 1 < b - 1。于是我们得到:
x - 1/b = n + (br - 1)/b < n + (b - 1)/b = n + 1 - 1/b
因为 n 是 x 的整数部分,所以 n ≤ ⌊x⌋。因此:
x - 1/b < n + 1 - 1/b ≤ ⌊x⌋ + 1 - 1/b
如果我们能够证明 n ≤ ⌊x⌋,那么就可以得到 ⌊x⌋ ≤ x - 1/b。
假设 n > ⌊x⌋,那么有:
n - 1 < x ≤ n
将 x 拆分成整数部分和小数部分,即 x = ⌊x⌋ + r,其中 0 ≤ r < 1。那么有:
⌊x⌋ + r ≤ n
r < 1
将上面两个式子相加得到:
x + r < n + 1
因为 n 是整数,所以 n + 1 是比 n 大的整数。所以 x + r 不可能小于 n + 1,这与 x ≤ n 矛盾。因此我们得出结论:
n ≤ ⌊x⌋
将这个结论代入上面的式子得到:
⌊x⌋ ≤ ⌊x⌋ + 1 - 1/b
化简得到:
⌊x⌋ ≤ x - 1/b
因此我们证明了 ⌊a/b⌋ ≤ a/b - 1/b。
证明a/b的取整函数小于a/b-1+1/b
首先,我们将a/b表示为q余r的形式,其中q是a/b的整数部分,r是a/b的小数部分,0 <= r < 1。
然后,我们可以将a/b的取整函数表示为q,将a/b-1的1/b表示为r+1/b,并将其取整函数表示为q'。因此,我们需要证明q < q'。
我们可以将a/b-1表示为(a-b)/b,因此a/b-1的整数部分是q-1。因此,我们需要证明q < q',即q < q-1+1/b。
等价地,我们需要证明r < 1/b。但是,这是显然的,因为r是a/b的小数部分,因此r < 1/b。
因此,我们证明了a/b的取整函数小于a/b-1的1/b。