计算三维坐标系中三个点所构成的角度

在三维坐标系中，三个点可以构成两条线段，可以通过计算这两条线段的夹角来得到三个点所构成的角度。

假设三个点分别为A(x1, y1, z1)，B(x2, y2, z2)，C(x3, y3, z3)。

首先计算向量AB和向量AC的点积和模长，即

AB·AC = (x2-x1)*(x3-x1) + (y2-y1)*(y3-y1) + (z2-z1)*(z3-z1)

|AB| = sqrt((x2-x1)^2 + (y2-y1)^2 + (z2-z1)^2)

|AC| = sqrt((x3-x1)^2 + (y3-y1)^2 + (z3-z1)^2)

然后计算夹角的余弦值，即

cosθ = AB·AC / (|AB|*|AC|)

最后通过反余弦函数可以得到角度值，即

θ = arccos(cosθ)

其中arccos为反余弦函数，返回的单位是弧度。如果需要角度值，可以将弧度转化为角度，即

θ = θ * 180 / pi

其中pi为圆周率。

相关问题

python实现：计算三维坐标系中三个点所构成的角度

假设三个点分别为 $A(x_1,y_1,z_1)$，$B(x_2,y_2,z_2)$，$C(x_3,y_3,z_3)$。则向量 $\overrightarrow{AB}=(x_2-x_1,y_2-y_1,z_2-z_1)$，向量 $\overrightarrow{AC}=(x_3-x_1,y_3-y_1,z_3-z_1)$。

根据向量内积的公式，向量 $\overrightarrow{AB}$ 和向量 $\overrightarrow{AC}$ 的内积公式如下：

$$\overrightarrow{AB}·\overrightarrow{AC}=|\overrightarrow{AB}|\cdot|\overrightarrow{AC}|\cdot\cos\theta$$

其中 $\theta$ 表示两向量之间的夹角。因此，可以通过求出 $\cos\theta$ 的值，再通过反三角函数 $\arccos$ 求得 $\theta$ 的角度值。

Python 代码实现如下：

import math

def angle(A, B, C):
    vecAB = [B[0]-A[0], B[1]-A[1], B[2]-A[2]]
    vecAC = [C[0]-A[0], C[1]-A[1], C[2]-A[2]]
    cos_theta = sum([vecAB[i]*vecAC[i] for i in range(3)]) / (math.sqrt(sum([vecAB[i]**2 for i in range(3)])) * math.sqrt(sum([vecAC[i]**2 for i in range(3)])))
    theta = math.degrees(math.acos(cos_theta))
    return theta

其中，输入参数 A、B、C 分别为三个点的坐标，输出为三个点所构成的角度。

已知1：室内局部三维坐标点（x、y、z）； 已知2：室内三维坐标与大地三维坐标原点不一致； 如何将室内三维坐标与大地三维坐标对应的关系；将室内局部三维坐标转换成对应的大地三维坐标？ 要求1：请使用java代码通过Jama.Matrix实现，并分别指出用到了哪些库和哪个版本； 要求2：给出完整使用示例；

要将室内三维坐标与大地三维坐标对应，需要进行坐标系转换。具体步骤如下：

1. 确定室内三维坐标系和大地三维坐标系的原点坐标。假设室内三维坐标系原点坐标为(x0, y0, z0)，大地三维坐标系原点坐标为(X0, Y0, Z0)。

2. 确定室内三维坐标系和大地三维坐标系的方向。假设室内三维坐标系中x轴指向东，y轴指向北，z轴指向上；大地三维坐标系中X轴指向正北，Y轴指向正东，Z轴指向地心。

3. 计算室内三维坐标系和大地三维坐标系之间的旋转矩阵R和平移矩阵T。其中旋转矩阵R由室内三维坐标系的三个坐标轴在大地三维坐标系中的方向向量组成，平移矩阵T由室内三维坐标系原点坐标在大地三维坐标系中的坐标值组成。

4. 对于室内局部三维坐标点P(x, y, z)，先将其转换为齐次坐标形式P'=[x,y,z,1]，然后通过以下公式得到对应的大地三维坐标点P''(X, Y, Z)：

P'' = R * P' + T

其中*表示矩阵乘法。

下面是使用Jama.Matrix实现的Java代码示例：

import Jama.Matrix;

public class CoordinateTransform {
    private static final double DEG_TO_RAD = Math.PI / 180.0;

    // 室内三维坐标系原点坐标
    private static final double x0 = 100.0;
    private static final double y0 = 200.0;
    private static final double z0 = 50.0;

    // 大地三维坐标系原点坐标
    private static final double X0 = 1000000.0;
    private static final double Y0 = 2000000.0;
    private static final double Z0 = 500.0;

    // 室内三维坐标系和大地三维坐标系之间的旋转角度和平移向量
    private static final double alpha = 45.0 * DEG_TO_RAD;
    private static final double beta = 30.0 * DEG_TO_RAD;
    private static final double gamma = 60.0 * DEG_TO_RAD;
    private static final Matrix R = getRotationMatrix(alpha, beta, gamma);
    private static final Matrix T = getTranslationMatrix(x0, y0, z0, X0, Y0, Z0, R);

    // 将室内局部三维坐标点转换为大地三维坐标点
    public static Matrix transform(double x, double y, double z) {
        double[] p = {x, y, z, 1};
        Matrix P = new Matrix(p, 4);
        Matrix P2 = R.times(P);
        Matrix P3 = P2.plus(T);
        return P3.getMatrix(0, 2, 0, 0);
    }

    // 获取旋转矩阵
    private static Matrix getRotationMatrix(double alpha, double beta, double gamma) {
        double cosA = Math.cos(alpha);
        double sinA = Math.sin(alpha);
        double cosB = Math.cos(beta);
        double sinB = Math.sin(beta);
        double cosG = Math.cos(gamma);
        double sinG = Math.sin(gamma);
        double[][] data = {
                {cosB * cosG, -cosB * sinG, sinB, 0},
                {cosA * sinG + sinA * sinB * cosG, cosA * cosG - sinA * sinB * sinG, -sinA * cosB, 0},
                {sinA * sinG - cosA * sinB * cosG, sinA * cosG + cosA * sinB * sinG, cosA * cosB, 0},
                {0, 0, 0, 1}
        };
        return new Matrix(data);
    }

    // 获取平移矩阵
    private static Matrix getTranslationMatrix(double x0, double y0, double z0, double X0, double Y0, double Z0, Matrix R) {
        double[][] data = {
                {X0 - R.get(0, 0) * x0 - R.get(0, 1) * y0 - R.get(0, 2) * z0},
                {Y0 - R.get(1, 0) * x0 - R.get(1, 1) * y0 - R.get(1, 2) * z0},
                {Z0 - R.get(2, 0) * x0 - R.get(2, 1) * y0 - R.get(2, 2) * z0},
                {1}
        };
        return new Matrix(data);
    }

    // 测试
    public static void main(String[] args) {
        double x = 10.0;
        double y = 20.0;
        double z = 5.0;
        Matrix P = transform(x, y, z);
        System.out.println("室内局部坐标点(" + x + ", " + y + ", " + z + ")对应的大地坐标点为(" + P.get(0, 0) + ", " + P.get(1, 0) + ", " + P.get(2, 0) + ")");
    }
}

以上代码使用了Jama库的版本是1.0.3。