(1) 建立数学模型分析如何可持续捕获(即每年开始捕捞时渔场中各年龄组鱼群不变),并且在此前提下得到最高的年收获量(捕捞总重量)。
时间: 2023-06-19 14:05:05 浏览: 87
假设有 $n$ 个年龄组的鱼群,分别为 $A_1, A_2, ..., A_n$,它们的数量分别为 $N_1, N_2, ..., N_n$。
我们可以使用 Leslie 矩阵来描述这些年龄组之间的转移关系,其中 $a_{1i}$ 表示年龄为 $i$ 的鱼在一年后变为年龄为 $1$ 的鱼的比例,$a_{ii}$ 表示年龄为 $i$ 的鱼在一年后还是年龄为 $i$ 的鱼的比例,$a_{i,i-1}$ 表示年龄为 $i-1$ 的鱼在一年后变为年龄为 $i$ 的鱼的比例。
则 Leslie 矩阵为:
$$
L = \begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1,n-1} & a_{1n}\\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2,n-1} & a_{2n}\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots\\
a_{n-1,1} & a_{n-1,2} & \cdots & a_{n-1,n-1} & a_{n-1,n}\\
a_{n,1} & a_{n,2} & \cdots & a_{n,n-1} & a_{nn}\\
\end{pmatrix}
$$
设初始时各年龄组的数量为 $N = (N_1, N_2, ..., N_n)^T$,则一年后各年龄组的数量为 $LN$。
为了使得渔场中各年龄组鱼群不变,我们需要求解一个单位特征值对应的单位特征向量,即:
$$
Lx = \lambda x
$$
其中 $\lambda = 1$。求解得到的 $x$ 即为渔场中各年龄组鱼群不变时的年龄分布。设该分布为 $y = (y_1, y_2, ..., y_n)^T$。
则最高的年收获量为 $\sum_{i=1}^{n} c_i y_i$,其中 $c_i$ 表示年龄为 $i$ 的鱼的单位重量的收益。
综上,我们可以建立以下数学模型:
目标函数:
$$
\max_{N} \sum_{i=1}^{n} c_i y_i
$$
约束条件:
$$
\begin{cases}
LN = N \\
\sum_{i=1}^{n} N_i = K
\end{cases}
$$
其中 $K$ 表示每年捕捞的总量。
这是一个线性规划问题,可以使用线性规划算法求解。