如果标准形式的 LP 存在非退化的最优基可行解，则其对偶规划必有唯一最优解。

这个结论是正确的。具体来说，如果标准形式的 LP 存在非退化的最优基可行解，那么根据互补松弛条件，对偶 LP 的最优解必须满足下列两个条件：

1. 对于任意的基可行解 $x$ 和对应的基 $B$，都有 $c^T x \leq z^T b$，其中 $z$ 是对偶 LP 的最优解。

2. 对于任意的最优解 $z$，都存在某个基 $B$，使得 $c^T x = z^T b$ 对于所有基可行解 $x$ 都成立。

由于标准形式的 LP 存在非退化的最优基可行解，所以对偶 LP 的最优解 $z$ 存在。另一方面，由于非退化的最优基可行解存在，所以存在某个基 $B$ 使得 $c^T x = z^T b$ 对于所有基可行解 $x$ 都成立。因此，根据第二个条件，对偶 LP 的最优解必须唯一。

相关问题

证明：如果标准形式的 LP 存在非退化的最优基可行解，其对偶规划必有唯一 最优解

首先，非退化的最优基可行解意味着所有基变量都有非零取值，且目标函数的系数矩阵在基变量组成的子矩阵中是非奇异的。因此，该最优解的基本解是唯一的。

其次，由于标准形式的 LP 的对偶规划也是一个 LP，因此它也拥有基本解。如果对偶规划存在最优解，那么该最优解必须是可行的，并且其对应的基本解也是唯一的。因此，我们只需要证明该基本解是唯一的即可证明原命题。

假设对偶规划存在两个不同的最优解，它们对应的基本解分别为 $y_1$ 和 $y_2$。由于这两个解都是最优解，它们的目标函数值相等。因此，我们有：

$$c^Tx = y_1^TA \cdot x = y_2^TA \cdot x$$

其中，$x$ 是原问题的最优解，$A$ 是约束条件的系数矩阵，$c$ 是目标函数的系数向量。

考虑两个基本解 $y_1$ 和 $y_2$ 所对应的基向量分别为 $B_1$ 和 $B_2$。由于 $y_1$ 和 $y_2$ 是最优解，它们必须满足对偶约束条件：

$$y_1^T \cdot B_1 = 1,\ y_1^T \cdot B_2 = 0$$

$$y_2^T \cdot B_1 = 0,\ y_2^T \cdot B_2 = 1$$

因此，我们有：

$$y_1^TA \cdot B_1 = c^T \cdot B_1 = y_2^TA \cdot B_1$$

$$y_1^TA \cdot B_2 = c^T \cdot B_2 = y_2^TA \cdot B_2$$

将上面两个式子相减，我们有：

$$y_1^TA \cdot (B_1 - B_2) = y_2^TA \cdot (B_1 - B_2) = 0$$

由于 $B_1 - B_2$ 是非零的基向量，而 $A$ 是非奇异的，因此必须有 $y_1^TA = y_2^TA$。因此，我们可以得出 $y_1 = y_2$，即对偶规划的最优解是唯一的。

因此，如果标准形式的 LP 存在非退化的最优基可行解，则其对偶规划必有唯一最优解。

证明如果标准形式的 LP 存在非退化的最优基可行解，则其对偶规划必有唯一最优解。

设标准形式的原始问题为：

$$
\begin{aligned}
\text{maximize}\quad & c^Tx\\
\text{s.t.}\quad & Ax=b\\
& x\geq 0
\end{aligned}
$$

其对偶问题为：

$$
\begin{aligned}
\text{minimize}\quad & b^Ty\\
\text{s.t.}\quad & A^Ty\geq c
\end{aligned}
$$

假设标准形式的 LP 存在非退化的最优基可行解 $x^*$，即 $x^*$ 是基可行解，且 $x^*$ 是非退化的最优解。

由于 $x^*$ 是基可行解，所以存在 $A$ 的一个子矩阵 $B$，使得 $B$ 是可逆矩阵，且 $x_B=B^{-1}b$，$x_{N}=0$，其中 $B$ 是 $A$ 的列构成的矩阵。

由于 $x^*$ 是非退化的最优解，所以 $c^Tx^*=y^Tb$，其中 $y$ 是对偶问题的最优解。

现在，我们需要证明对偶问题存在唯一最优解 $y^*$。

假设存在两个不同的最优解 $y_1$ 和 $y_2$，使得 $y_1\neq y_2$。

由于 $A^Ty_1\geq c$ 和 $A^Ty_2\geq c$，所以 $A^T(y_1-y_2)\geq 0$。

又因为 $x_B=B^{-1}b$，$x_{N}=0$，所以 $Ax=b$ 可以写成 $Bx_B+Nx_N=b$，即 $Bx_B=b$。

将 $x_B=B^{-1}b$ 代入 $A^Ty_1\geq c$ 和 $A^Ty_2\geq c$ 中，得到 $N^Ty_1\geq c_B$ 和 $N^Ty_2\geq c_B$，其中 $c_B$ 是 $c$ 的一个子向量，对应于 $B$ 的列。

由于 $B$ 是可逆矩阵，所以 $c_B=B^T(B^{-1}c_B)$。

将 $c_B=B^T(B^{-1}c_B)$ 代入 $N^Ty_1\geq c_B$ 和 $N^Ty_2\geq c_B$ 中，得到 $N^T(y_1-B^{-1}c_B)\geq 0$ 和 $N^T(y_2-B^{-1}c_B)\geq 0$。

由于 $y_1\neq y_2$，所以 $y_1-B^{-1}c_B\neq y_2-B^{-1}c_B$。

由于 $B$ 是可逆矩阵，所以 $y_1-B^{-1}c_B$ 和 $y_2-B^{-1}c_B$ 可以表示为 $N^T$ 的线性组合。

因此，存在 $N^T$ 的一个非零向量 $d$，使得 $d^T(y_1-B^{-1}c_B)>0$ 和 $d^T(y_2-B^{-1}c_B)<0$。

由于 $Ax=b$，所以 $x_B=B^{-1}b$，$x_{N}=0$，所以 $x^*=B^{-1}b$。

将 $y_1$ 和 $y_2$ 代入 $c^Tx^*=y^Tb$ 中，得到 $c^Tx^*=y_1^Tb$ 和 $c^Tx^*=y_2^Tb$。

将 $y_1^Tb$ 和 $y_2^Tb$ 代入 $d^T(y_1-B^{-1}c_B)>0$ 和 $d^T(y_2-B^{-1}c_B)<0$ 中，得到 $d^Tb>0$ 和 $d^Tb<0$，这是一个矛盾。

因此，假设不成立，即对偶问题存在唯一最优解。