如果标准形式的 LP 存在非退化的最优基可行解,则其对偶规划必有唯一最优解。
时间: 2023-06-10 19:07:25 浏览: 41
这个结论是正确的。具体来说,如果标准形式的 LP 存在非退化的最优基可行解,那么根据互补松弛条件,对偶 LP 的最优解必须满足下列两个条件:
1. 对于任意的基可行解 $x$ 和对应的基 $B$,都有 $c^T x \leq z^T b$,其中 $z$ 是对偶 LP 的最优解。
2. 对于任意的最优解 $z$,都存在某个基 $B$,使得 $c^T x = z^T b$ 对于所有基可行解 $x$ 都成立。
由于标准形式的 LP 存在非退化的最优基可行解,所以对偶 LP 的最优解 $z$ 存在。另一方面,由于非退化的最优基可行解存在,所以存在某个基 $B$ 使得 $c^T x = z^T b$ 对于所有基可行解 $x$ 都成立。因此,根据第二个条件,对偶 LP 的最优解必须唯一。
相关问题
证明:如果标准形式的 LP 存在非退化的最优基可行解,其对偶规划必有唯一 最优解
要证明这个结论,需要使用线性规划的对偶理论。
首先,根据线性规划的对偶理论,原始问题的最优解等于对偶问题的最优解。
其次,如果原始问题存在非退化的最优基可行解,那么这个最优解对应的基本变量都是非零的。因此,对偶问题的约束条件中,与这些基本变量对应的对偶变量都是非零的。这意味着对偶问题存在一个基本可行解,其中所有基本变量都是非零的。
因此,根据对偶理论,对偶问题存在最优解,并且这个最优解是唯一的。因此,如果原始问题存在非退化的最优基可行解,其对偶规划必有唯一最优解。
证明如果标准形式的 LP 存在非退化的最优基可行解,则其对偶规划必有唯一最优解。
设标准形式的原始问题为:
$$
\begin{aligned}
\text{maximize}\quad & c^Tx\\
\text{s.t.}\quad & Ax=b\\
& x\geq 0
\end{aligned}
$$
其对偶问题为:
$$
\begin{aligned}
\text{minimize}\quad & b^Ty\\
\text{s.t.}\quad & A^Ty\geq c
\end{aligned}
$$
假设标准形式的 LP 存在非退化的最优基可行解 $x^*$,即 $x^*$ 是基可行解,且 $x^*$ 是非退化的最优解。
由于 $x^*$ 是基可行解,所以存在 $A$ 的一个子矩阵 $B$,使得 $B$ 是可逆矩阵,且 $x_B=B^{-1}b$,$x_{N}=0$,其中 $B$ 是 $A$ 的列构成的矩阵。
由于 $x^*$ 是非退化的最优解,所以 $c^Tx^*=y^Tb$,其中 $y$ 是对偶问题的最优解。
现在,我们需要证明对偶问题存在唯一最优解 $y^*$。
假设存在两个不同的最优解 $y_1$ 和 $y_2$,使得 $y_1\neq y_2$。
由于 $A^Ty_1\geq c$ 和 $A^Ty_2\geq c$,所以 $A^T(y_1-y_2)\geq 0$。
又因为 $x_B=B^{-1}b$,$x_{N}=0$,所以 $Ax=b$ 可以写成 $Bx_B+Nx_N=b$,即 $Bx_B=b$。
将 $x_B=B^{-1}b$ 代入 $A^Ty_1\geq c$ 和 $A^Ty_2\geq c$ 中,得到 $N^Ty_1\geq c_B$ 和 $N^Ty_2\geq c_B$,其中 $c_B$ 是 $c$ 的一个子向量,对应于 $B$ 的列。
由于 $B$ 是可逆矩阵,所以 $c_B=B^T(B^{-1}c_B)$。
将 $c_B=B^T(B^{-1}c_B)$ 代入 $N^Ty_1\geq c_B$ 和 $N^Ty_2\geq c_B$ 中,得到 $N^T(y_1-B^{-1}c_B)\geq 0$ 和 $N^T(y_2-B^{-1}c_B)\geq 0$。
由于 $y_1\neq y_2$,所以 $y_1-B^{-1}c_B\neq y_2-B^{-1}c_B$。
由于 $B$ 是可逆矩阵,所以 $y_1-B^{-1}c_B$ 和 $y_2-B^{-1}c_B$ 可以表示为 $N^T$ 的线性组合。
因此,存在 $N^T$ 的一个非零向量 $d$,使得 $d^T(y_1-B^{-1}c_B)>0$ 和 $d^T(y_2-B^{-1}c_B)<0$。
由于 $Ax=b$,所以 $x_B=B^{-1}b$,$x_{N}=0$,所以 $x^*=B^{-1}b$。
将 $y_1$ 和 $y_2$ 代入 $c^Tx^*=y^Tb$ 中,得到 $c^Tx^*=y_1^Tb$ 和 $c^Tx^*=y_2^Tb$。
将 $y_1^Tb$ 和 $y_2^Tb$ 代入 $d^T(y_1-B^{-1}c_B)>0$ 和 $d^T(y_2-B^{-1}c_B)<0$ 中,得到 $d^Tb>0$ 和 $d^Tb<0$,这是一个矛盾。
因此,假设不成立,即对偶问题存在唯一最优解。
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