有上界线性规划的对偶单纯形算法与收敛性分析

"变量有上界的线性规划的对偶算法 (1987年) - 范毓琦 - 西南师范大学学报" 在本文中，作者探讨了线性规划（Linear Programming, LP）的对偶理论，特别是在处理具有上界限制的变量时的情况。传统的线性规划对偶理论主要适用于没有上界约束的变量，而文章的目标是扩展这一理论以适应有上界约束的线性规划问题。 线性规划问题（P）通常形式为： \[ \text{(P)} \quad \text{minimize} \quad c^T x \] \[ \text{subject to} \quad Ax = b \] \[ \quad \quad \quad \quad x \geq 0 \] 其中，\( c \) 是目标函数的系数向量，\( A \) 是约束矩阵，\( b \) 是约束的右侧常数向量，而 \( x \) 是决策变量，且有非负约束。 对于具有上界约束的线性规划问题，即： \[ x_i \leq u_i \quad \text{for some} \ i \] 作者提出了将这样的问题转化为无上界约束的线性规划问题的方法。通过引入新的辅助变量和适当的变换，原问题可以转换为等价的无上界问题，进而应用传统的对偶理论。 对偶规划问题（DP）为： \[ \text{(DP)} \quad \text{maximize} \quad \omega^T b \] \[ \text{subject to} \quad \omega A \leq c \] \[ \quad \quad \quad \quad \omega \geq 0 \] 其中，\( \omega \) 是对偶变量。 通过一系列定理，作者展示了如何将有上界约束的线性规划问题与对偶问题进行转化，并建立了它们之间的关系。这些定理为构建针对有上界约束的线性规划的对偶单纯形算法提供了理论基础。单纯形算法是一种解决线性规划问题的有效方法，通过迭代寻找最优解。 文章还讨论了如何求解线性规划的第一个正则解，以及在算法执行过程中可能遇到的退化情况。退化是指在算法的迭代过程中，可能会出现多个基本变量的值接近于零，这可能导致算法的收敛速度减慢或者无法找到最优解。作者提供了一种处理退化的策略，以确保算法的稳定性和收敛性。 此外，文章中还包括了基解、基变量、非基变量、基矩阵等线性规划中的基本概念，并给出了这些概念在有上界约束问题中的具体应用。基矩阵 \( B \) 在这里被定义为由基变量组成的子矩阵，它是单位矩阵的逆，用于描述解的结构。 这篇文章深入研究了有上界约束的线性规划及其对偶理论，提出了一种新的对偶单纯形算法，并证明了算法的收敛性，同时解决了退化问题，丰富了线性规划领域的理论与实践。