matlab逐次超松驰迭代法(SOR)

逐次超松驰迭代法(Successive Over-Relaxation, SOR)是一种求解线性方程组的迭代方法，它是基于高斯-赛德尔迭代法的改进。相比于高斯-赛德尔迭代法，SOR方法引入了一个松弛因子(w)，可以加速迭代的收敛。

SOR方法的迭代公式为：

$x_i^{(k+1)}=(1-w)x_i^{(k)}+\frac{w}{a_{ii}}(b_i-\sum\limits_{j=1}^{i-1}a_{ij}x_j^{(k+1)}-\sum\limits_{j=i+1}^na_{ij}x_j^{(k)})$

其中，$x_i^{(k+1)}$表示第k+1次迭代后第i个未知量的解，$a_{ij}$为系数矩阵的元素，$b_i$为右端向量的第i个分量。

SOR方法的收敛条件为：系数矩阵必须是对称正定矩阵，松弛因子w的取值范围为0<w<2。

在MATLAB中，可以使用sor函数求解线性方程组，其语法为：

[x, flag, relres, iter] = sor(A, b, w, maxit, tol)

其中，A为系数矩阵，b为右端向量，w为松弛因子，maxit为最大迭代次数，tol为收敛精度。函数的输出参数x为方程组的解，flag表示是否收敛，relres为相对残差，iter为迭代次数。

相关问题

用matlab编写逐次超松弛迭代法SOR的代码

以下是一个简单的 Matlab 逐次超松弛迭代法 (SOR) 的实现：

function [x, iter] = sor(A, b, x0, omega, tol, maxiter)
% SOR (逐次超松弛法) 求解线性方程组 Ax = b
% A：系数矩阵，b：常数矩阵，x0：迭代初值，omega：松弛因子，tol：容差，maxiter：最大迭代次数
% x：方程组的解，iter：实际迭代次数

n = length(b);
x = x0;
iter = 0;

while iter < maxiter
    x_old = x;
    for i = 1:n
        sigma = 0;
        for j = 1:n
            if j ~= i
                sigma = sigma + A(i, j) * x(j);
            end
        end
        x(i) = (1 - omega) * x_old(i) + omega * (b(i) - sigma) / A(i, i);
    end
    iter = iter + 1;
    if norm(x - x_old) < tol
        break;
    end
end

end

其中，A、b、x0、omega、tol 和 maxiter 分别代表系数矩阵、常数矩阵、迭代初值、松弛因子、容差和最大迭代次数。函数返回方程组的解 x 和实际迭代次数 iter。

matlab逐次超松驰迭代法(SOR)的程序

下面是MATLAB实现逐次超松驰迭代法(SOR)的程序：

function [x, flag, relres, iter] = sor(A, b, w, maxit, tol)

% 判断输入参数是否合法
if nargin < 5
    tol = 1e-6;
end
if nargin < 4
    maxit = 1000;
end
if nargin < 3
    w = 1.2;
end

% 初始化迭代向量
n = length(b);
x = zeros(n, 1);

% 开始迭代
for iter = 1 : maxit
    
    % 逐次更新每个未知量的解
    for i = 1 : n
        s = 0;
        for j = 1 : n
            if j ~= i
                s = s + A(i, j) * x(j);
            end
        end
        x(i) = (1 - w) * x(i) + w / A(i, i) * (b(i) - s);
    end
    
    % 计算当前迭代的残差和相对残差
    r = b - A * x;
    relres = norm(r) / norm(b);
    
    % 判断是否达到收敛条件
    if relres < tol
        flag = 0;
        return;
    end
end

% 达到最大迭代次数仍未收敛
flag = 1;

该函数的输入参数为系数矩阵A、右端向量b、松弛因子w、最大迭代次数maxit、收敛精度tol。输出参数为方程组的解x、是否收敛的标志flag、相对残差relres和迭代次数iter。在函数中，我们先判断输入参数是否合法，然后初始化迭代向量x，开始迭代。在每一次迭代中，我们逐次更新每个未知量的解，然后计算当前迭代的残差和相对残差，判断是否达到收敛条件。如果达到收敛条件，则返回收敛的标志flag等信息；否则，继续迭代。最后，如果达到最大迭代次数仍未收敛，则返回未收敛的标志flag。