def ApproxFun(XStar, CurrX, ObjVal, GradVect, HessMat, LambdaPara, SigmaPara, SigmaCov): """ The Approximation function value at local optimizer XStar :param XStar: The local optimizer :param CurrX: Current candidate optimizer :param ObjVal: The original objective function value at CurrX :param GradVect: The gradient vector of original objective function at CurrX :param HessMat: The Hessian matrix of original objective function at CurrX :return: The approximation function value at XStar """ DiffX = np.array(XStar - CurrX) HessMat = np.identity(len(DiffX)) # Local linear approximation ApproxVal = 0.5 * DiffX.T @ HessMat @ DiffX + GradVect.T @ DiffX + ObjVal return ApproxVal

这段代码是一个计算近似函数值的函数，用于信任域算法中的子问题求解。

在信任域算法中，子问题的目标是在当前点附近找到一个更好的点，以更新当前点。具体来说，子问题需要在当前点的信任域内寻找一个新的点，使得在该点附近的目标函数值能够得到明显的改善。

该函数中，参数XStar表示当前的局部最优点，CurrX表示当前的候选优化点，ObjVal表示在CurrX处的原始目标函数值，GradVect表示在CurrX处的目标函数梯度向量，HessMat表示在CurrX处的目标函数海森矩阵。

函数中，首先计算出当前点CurrX和局部最优点XStar之间的差异DiffX。然后，通过将海森矩阵近似为单位矩阵，得到一个局部线性逼近，即HessMat=np.identity(len(DiffX))。这样，近似函数值ApproxVal就可以通过简单的二次函数形式计算得到，其中0.5 * DiffX.T @ HessMat @ DiffX表示二次项，GradVect.T @ DiffX表示线性项，ObjVal表示常数项。

最后，函数返回近似函数值ApproxVal，供信任域算法中的子问题求解使用。

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def ApproxFun(XStar, CurrX, ObjVal, GradVect, HessMat):#局部近似函数 """ The Approximation function value at local optimizer XStar :param XStar: The local optimizer :param CurrX: Current candidate optimizer :param ObjVal: The original objective function value at CurrX :param GradVect: The gradient vector of original objective function at CurrX :param HessMat: The Hessian matrix of original objective function at CurrX :return: The approximation function value at XStar """ DiffX = np.array(XStar - CurrX) ApproxVal = 0.5 * DiffX.T @ HessMat @ DiffX + GradVect.T @ DiffX + ObjVal return ApproxVal

这个代码实现了一个函数 ApproxFun，它计算了在局部最优点 XStar 处的目标函数的局部近似函数的值。局部近似函数是一个用二次函数近似原目标函数的函数，它的值与原目标函数在 XStar 处的值、梯度向量和海森矩阵有关。具体来说，这个函数使用了 XStar 与当前候选优化器 CurrX 的差向量 DiffX，计算了一个二次函数的值，该二次函数的系数和 CurrX 处的目标函数的值、梯度向量和海森矩阵有关。在这个函数中，@ 符号表示矩阵乘积，T 表示转置操作。函数的输出是局部近似函数在 XStar 处的值。

def TruRegAlg(InitX): # 信頼域 """ Determine an appropriate Trust Region Radius at CurrX :param CurrX: Current candidate optimizer :return: Trust Region Radius at CurrX """ InitX = np.array(InitX) n = len(InitX) InitRadius = 1.0 ExpandFactor = 2.0 CompressFactor = 0.25 EpsTol = 1e-6 CurrX = InitX TruRegRad = InitRadius ObjVal = ObjFun(CurrX) GradVect = GradFun(CurrX) HessMat = HessFun(CurrX) while np.linalg.norm(GradVect) > EpsTol: XStar = SubOptFun(CurrX, TruRegRad, GradVect, HessMat) ApproxVal = ApproxFun(XStar, CurrX, ObjVal, GradVect, HessMat) ObjStarVal = ObjFun(XStar) CriticVal = (ObjVal - ObjStarVal) / (ObjVal - ApproxVal) DiffX = XStar - CurrX NormDiffX = np.linalg.norm(DiffX) if CriticVal >= 0.75: if abs(NormDiffX - TruRegRad) <= 1e-6: TruRegRad = ExpandFactor * TruRegRad elif CriticVal <= 0.25: TruRegRad = CompressFactor * TruRegRad if TruRegRad <= 1e-6: break if CriticVal >= 0: CurrX = XStar ObjVal = ObjFun(CurrX) GradVect = GradFun(CurrX) HessMat = HessFun(CurrX) OptiX = CurrX return OptiX

这段代码是一个信任域算法，用于在给定初始点的情况下，求解一个无约束优化问题。具体来说，该算法通过不断的调整信任域半径，以及利用牛顿法求解子问题，来逐步逼近最优解。

在算法的开始阶段，初始化一些参数，包括信任域的初始半径、扩展和压缩因子、以及收敛阈值等。随后，通过调用目标函数、梯度函数和海森矩阵函数来计算当前点的目标值、梯度向量和海森矩阵。

在迭代的过程中，首先利用牛顿法求解一个子问题，得到一个新的点XStar。然后，计算出一个近似值ApproxVal，用于评估XStar是否是一个合适的解。如果XStar是一个合适的解，则更新当前点的值，并重新计算目标值、梯度向量和海森矩阵。

在更新当前点的值的同时，也需要根据CriticVal的值来调整信任域的半径。如果CriticVal大于等于0.75，则可以扩大信任域的半径；如果CriticVal小于等于0.25，则需要缩小信任域的半径。如果信任域的半径小于等于1e-6，则停止迭代。

最终，返回找到的最优点OptiX。该算法的收敛性和正确性都可以得到证明，因此在实际应用中具有很高的可靠性和准确性。