三角形ABC中,b=1 a=2c 当角C取最大值时,三角形ABC面积是多少

根据正弦定理得：$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$，其中$\sin C$取最大值时，$\angle C=90^\circ$，且有$\sin C=1$。

又因为$b=1$，$a=2c$，所以$\frac{a}{b}=2$，$\frac{a}{c}=\frac{2c}{c}=2$。

因此，$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2\sin C$。

由此可得：$\sin A=2\sin C\sin A$，$\sin B=2\sin C\sin B$，$1=2\sin C$。

解得$\sin C=\frac{1}{2}$，$\sin A=1$，$\sin B=\frac{\sqrt{3}}{2}$。

三角形的面积为：$S=\frac{1}{2}ab\sin C=\frac{1}{2}\cdot1\cdot2c\cdot\frac{1}{2}=c$。

因为$a=2c$，所以$c=\frac{a}{2}=1$。

因此，三角形ABC的面积为$S=\frac{1}{2}ab\sin C=\frac{1}{2}\cdot1\cdot2c\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$。

相关问题

在三角形abc中，已知bc=1，角b=30度

因为三角形abc中，角b=30度，所以角c=180度-60度-30度=90度。

根据三角形abc的正弦定理，有：

sin A / a = sin B / b = sin C / c

代入已知条件，得：

sin A / a = sin 30 / 1 = 1/2

所以：

sin A = a / 2

又因为：

sin C = sin 90 = 1

所以：

a / sin A = c / sin C

代入已知条件，得：

a / sin A = 1 / sin 90

即：

a / sin A = 1

所以：

a = sin A = 2 / sqrt(3)

综上所述，三角形abc中，a的长度为2 / sqrt(3)。

已知椭圆：xx/4+yy/3=1，A,B,C是椭圆上的三个动点，求三角形ABC面积的最大值

通过观察椭圆方程，我们可以将其标准化为：

$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$$

其中$a=2$，$b=\sqrt{3}$。

接下来，我们考虑三角形的面积。由于三角形的底边在$x$轴上，我们可以将其设为$AB$，高为$h$。则三角形的面积为：

$$S=\frac{1}{2}AB\times h$$

同时，我们注意到$BC$和$AC$在椭圆上的长度是一定的，即$BC+AC$是一个定值。因此，我们可以将三角形的底边$AB$表示为$BC+AC$，即：

$$AB=BC+AC$$

接下来，我们考虑如何求出$h$。根据三角形的面积公式，我们有：

$$h=\frac{2S}{AB}=\frac{4S}{BC+AC}$$

因此，我们只需要求出$BC$和$AC$的值，就可以求出$h$。考虑到$B$和$C$在椭圆上的位置是不确定的，我们可以将$B$和$C$的坐标表示为：

$$B=(a\cos\theta,b\sin\theta),\ C=(-a\cos\theta,-b\sin\theta)$$

其中$\theta$是一个参数。由于$B$和$C$在椭圆上，我们有：

$$\frac{\cos^2\theta}{a^2}+\frac{\sin^2\theta}{b^2}=1$$

将$a=2$，$b=\sqrt{3}$代入，得到：

$$\cos^2\theta+\frac{1}{3}\sin^2\theta=4$$

移项并整理，得到：

$$\sin^2\theta=12-3\cos^2\theta$$

接下来，我们考虑如何求出$BC$和$AC$。根据两点之间的距离公式，我们有：

$$BC=\sqrt{(a\cos\theta+a)^2+b^2\sin^2\theta}=\sqrt{(2\cos\theta+2)^2+3(12-3\cos^2\theta)}$$

$$AC=\sqrt{(a\cos\theta-a)^2+b^2\sin^2\theta}=\sqrt{(2\cos\theta-2)^2+3(12-3\cos^2\theta)}$$

因此，我们可以将$h$表示为：

$$h=\frac{4S}{\sqrt{(2\cos\theta+2)^2+3(12-3\cos^2\theta)}+\sqrt{(2\cos\theta-2)^2+3(12-3\cos^2\theta)}}$$

现在，我们要求出$h$的最大值。对于一个固定的$\theta$，$h$是一个实数。因此，我们可以使用微积分的方法来求出$h$的最大值。对$h$求导并令其等于$0$，得到：

$$\frac{d}{d\theta}h=\frac{24\sin\theta\cos\theta}{(\sqrt{(2\cos\theta+2)^2+3(12-3\cos^2\theta)}+\sqrt{(2\cos\theta-2)^2+3(12-3\cos^2\theta)})^2}=0$$

化简得到：

$$\sin\theta\cos\theta=0$$

因此，$\theta$的取值只有两种可能：$\theta=0$或$\theta=\frac{\pi}{2}$。对于这两种情况，我们可以计算出$h$的值：

$$h(0)=\frac{4S}{\sqrt{13}+5},\ h\left(\frac{\pi}{2}\right)=\frac{4S}{4\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}S$$

因此，当$\theta=0$时，$h$的最大值是$\frac{4S}{\sqrt{13}+5}$；当$\theta=\frac{\pi}{2}$时，$h$的最大值是$\frac{\sqrt{3}}{3}S$。因此，三角形的面积的最大值是：

$$\max S=\frac{3\sqrt{13}}{26}$$

当且仅当$B$和$C$分别在椭圆的左右焦点上，$A$在椭圆的下焦点上时，三角形的面积达到最大值。