改进的欧拉法在matlab中求解微分方程组的代码

欧拉法是一种基本的数值解微分方程的方法，但是它有精度较低的缺点。改进的欧拉法通过利用中点来提高精度，下面是在MATLAB中求解微分方程组的代码：

假设要求解的微分方程组为：

y1' = f1(t, y1, y2)
y2' = f2(t, y1, y2)

其中，y1 和 y2 分别是未知函数，f1 和 f2 是已知函数。初始条件为 y1(t0) = y1_0，y2(t0) = y2_0。

代码如下：

function [t, y1, y2] = improved_euler(f1, f2, tspan, y0, h)
% f1, f2: 函数句柄，表示 y1' 和 y2' 的函数
% tspan: 求解区间 [t0, tf]
% y0: 初始值 [y1(t0), y2(t0)]
% h: 步长
% t: 时间向量
% y1, y2: 求解结果向量

t0 = tspan(1);
tf = tspan(2);
t = (t0:h:tf)';
n = length(t);
y1 = zeros(n, 1);
y2 = zeros(n, 1);
y1(1) = y0(1);
y2(1) = y0(2);

for i = 1:n-1
    % 中点
    t_mid = t(i) + h/2;
    y1_mid = y1(i) + h/2 * f1(t(i), y1(i), y2(i));
    y2_mid = y2(i) + h/2 * f2(t(i), y1(i), y2(i));
    % 欧拉法
    y1(i+1) = y1(i) + h * f1(t_mid, y1_mid, y2_mid);
    y2(i+1) = y2(i) + h * f2(t_mid, y1_mid, y2_mid);
end

例如，要求解如下微分方程组：

y1' = y2
y2' = -y1

初始条件为 y1(0) = 1，y2(0) = 0，求解区间为 [0, 10]，步长为 0.1。代码如下：

f1 = @(t, y1, y2) y2;
f2 = @(t, y1, y2) -y1;
[t, y1, y2] = improved_euler(f1, f2, [0, 10], [1, 0], 0.1);
plot(t, y1, t, y2);
legend('y_1', 'y_2');

结果如下图所示：