证明当A为行对角占优矩阵时，求解方程组Ax=b的雅克比迭代格式收敛，用数学语言表达

假设A为$n\times n$的行对角占优矩阵，即对于每个$i=1,2,\cdots,n$，都有$|a_{ii}|\geq\sum\limits_{j\neq i}|a_{ij}|$。

考虑雅可比迭代格式：$x^{(k+1)}=D^{-1}(b-(L+U)x^{(k)})$，其中$D$为$A$的对角线部分，$L$为$A$的下三角部分（不包括对角线），$U$为$A$的上三角部分（不包括对角线）。

设$x$为方程组$Ax=b$的解，$r^{(k)}=b-Ax^{(k)}$为第$k$次迭代的残量，则有

$$x-x^{(k+1)}=D^{-1}(L+U)(x-x^{(k)})$$

两边同时取模长，得到

$$\begin{aligned} \|x-x^{(k+1)}\|&\leq\|D^{-1}(L+U)\|\cdot\|x-x^{(k)}\|\\ &=\rho(D^{-1}(L+U))\cdot\|x-x^{(k)}\| \end{aligned}$$

其中$\rho(\cdot)$表示谱半径。因为$A$为行对角占优矩阵，所以

$$\begin{aligned} \rho(D^{-1}(L+U))&=\max_{1\leq i\leq n}\left|\frac{\lambda_i(L+U)}{\lambda_i(D)}\right|\\ &=\max_{1\leq i\leq n}\left|\frac{\sum\limits_{j\neq i}|a_{ij}|}{|a_{ii}|}\right|\\ &<1 \end{aligned}$$

因此，雅可比迭代格式收敛。