有限元法扩散方程matlab代码

有限元法是计算机辅助工程领域中常用的一种数值分析方法，用于求解工程问题中的偏微分方程。扩散方程是一种描述物质扩散现象的偏微分方程。下面将给出有限元法求解扩散方程的Matlab代码。

假设要求解的扩散方程为：

$ \frac{\partial C}{\partial t} = D \frac{\partial^2 C}{\partial x^2} $

其中，$C$是扩散物质的浓度，$t$是时间，$x$是空间坐标，$D$是扩散系数。为了利用有限元法求解该方程，我们需要将其离散化为一系列代数方程。具体的思路是，将计算区域划分为一些小区域，每个小区域内的浓度值用一个待定的函数表示。然后，将偏微分方程中的时间和空间坐标分别离散化，得到一个大规模的代数方程组，然后用线性代数方法求解该方程组，从而得到各个小区域内的浓度值。

下面是用Matlab实现扩散方程有限元法求解的代码：

% 定义计算区域和边界条件
L = 1; % 计算区域长度
nx = 20; % 将计算区域分成nx个小区域
x = linspace(0,L,nx+1); % 将计算区域分成nx+1个点
C0 = 1; % 边界浓度
Cn = 0;
Dt = 0.01; % 时间步长
Nt = 100; % 总计算时间
D = 1; % 扩散系数

% 构建刚度矩阵和质量矩阵
K = zeros(nx+1,nx+1); % 刚度矩阵
M = zeros(nx+1,nx+1); % 质量矩阵
for i = 2:nx
    h = x(i+1) - x(i); % 两点之间的距离
    K(i,i-1) = -D/h;
    K(i,i) = D/h + D/h;
    K(i,i+1) = -D/h;
    M(i,i) = h/3;
    M(i,i-1) = h/6;
    M(i,i+1) = h/6;
end
K(1,1) = 1;
K(nx+1,nx+1) = 1;
M(1,1) = 1;
M(nx+1,nx+1) = 1;

% 初始条件
C = zeros(nx+1,1); % 初始浓度为零
C(1) = C0; % 边界上的浓度值为C0
C(nx+1) = Cn;

% 迭代求解
for n = 1:Nt
    Cn = C;
    C = (M - Dt/2*K)\((M + Dt/2*K)*Cn);
    C(1) = C0; % 保持边界浓度不变
    C(nx+1) = Cn(nx+1); % 保持边界浓度不变

    % 绘制浓度分布图
    figure(1);
    plot(x,C);
    ylim([0,1.1]);
    drawnow;
end

上述代码中，我们先定义了计算区域和边界条件。然后，我们用一个循环来进行时间迭代。在每个时间步长内，我们构建了刚度矩阵和质量矩阵，并用线性代数方法求解了代数方程组。最后，我们用Matlab的绘图函数将浓度分布图输出。