插值型数值积分在实际运用中的例题

假设我们需要计算以下函数在区间 $[0,1]$ 上的定积分 $\int_{0}^{1}e^{-x^2}dx$，并使用辛普森法则进行插值型数值积分。

首先，我们将区间 $[0,1]$ 划分成 $n$ 个小区间，并在每个小区间中使用二次插值来近似函数 $f(x)=e^{-x^2}$。然后，我们可以计算每个小区间上的积分，并将其相加以获得整个区间上的近似积分值。

例如，如果我们将区间 $[0,1]$ 划分成 $4$ 个小区间，我们可以得到以下的计算：

- 小区间1：$f(0)=1$，$f(0.5)=e^{-0.25}\approx0.7788$，$f(1)=e^{-1}\approx0.3679$，$\int_{0}^{1}(f(0)+4f(0.5)+f(1))\frac{h}{6}=\frac{1}{6}(1+4(0.7788)+0.3679)\approx0.7468$
- 小区间2：$f(0.25)\approx0.9394$，$f(0.75)\approx0.2738$，$\int_{0.25}^{0.75}(f(0.25)+4f(0.5)+f(0.75))\frac{h}{6}=\frac{1}{6}(0.9394+4(0.7788)+0.2738)\approx0.5835$

然后，我们将这些小区间的积分值相加以获得整个区间上的近似积分值：

$\int_{0}^{1}e^{-x^2}dx\approx0.7468+0.5835\approx1.3303$

因此，使用辛普森法则，我们估计 $\int_{0}^{1}e^{-x^2}dx\approx1.3303$。