数值分析：多重网格法在流体力学计算中的应用

"《数值分析学习辅导·习题解析》由李红和徐长发编著，是针对理工科学生学习数值分析课程的辅导教材。书中涵盖了函数插值与逼近、数值积分与微分、常微分方程数值解、方程求根、线性代数方程组解法等内容，并提供了例题解析、习题及解答，还包含模拟试题，适用于教学和自我提升。" 在数值分析中，多重网格法是一种高效的数值求解方法，尤其在处理复杂的偏微分方程和大型线性系统时。该方法通过在不同分辨率的网格之间交替进行迭代，加速收敛过程，减少计算所需的迭代次数。在给定的描述中，提到的迭代公式xn+1 = 18 - (xn/2)^10 是一个用于求解某问题的迭代过程。通过分析迭代函数φ(x)的导数，可以证明其在特定区间内具有收敛性，即当x∈(1,2)时，|φ'(x)|<25<1，满足局部线性收敛的条件。 在实际计算中，通常选择初始值x0，并利用迭代公式计算后续值，如x1=φ(x0)，然后继续迭代得到更精确的解。描述中的例子展示了如何通过迭代公式计算x1和x2，并使用牛顿迭代法改进结果。此外，书中提及的正交多项式ω(x)在[-1,1]上的特性，与数值积分和插值问题相关，它们在数值分析中用于构建高效逼近函数，解决诸如数值积分和方程求解等问题。 在数值积分中，正交多项式可以用来构造高精度的积分近似。例如，ω(x) = (x - x0)(x - x1)是(1 + x^2)加权的正交多项式，满足一定的积分条件，这些条件可以用来求解多项式的系数，进一步用于数值积分的算法。对于常微分方程的数值解，通常会使用像欧拉法、龙格-库塔法等方法，而线性代数方程组的解法包括直接法（如高斯消元法）和迭代法（如雅可比法、高斯-塞德尔法）。 该书不仅适合理工科学生学习数值分析课程，还适用于准备研究生入学考试或同等学力考试的考生，帮助他们理解和掌握数值分析中的核心概念、方法和技术。通过丰富的例题和习题解答，读者可以加深对理论知识的理解，并提高实际问题解决能力。