$R_{min} = \frac{\lambda}{2\tan(\theta_{az})} = \frac{\lambda H}{2L}$什么意思

这个公式是雷达系统中计算最小探测距离的公式，其中：

- $R_{min}$ 表示最小探测距离，即雷达能够探测到的最近目标距离；
- $\lambda$ 表示雷达发射的电磁波的波长；
- $\theta_{az}$ 表示雷达天线的水平方向主瓣宽度（即方位角分辨率），一般以角度表示；
- $H$ 表示雷达天线的高度；
- $L$ 表示雷达发射机和接收机之间的距离。

这个公式的物理意义是，当一个目标距离雷达的距离小于最小探测距离时，雷达就无法探测到这个目标。公式中的 $\frac{\lambda}{2\tan(\theta_{az})}$ 是一个角度下的最小探测距离，乘以雷达天线高度 $H$，就得到了一个实际的最小探测距离。同时，公式中也反映了雷达发射机和接收机之间的距离对最小探测距离的影响。

相关问题

详细解释这段代码：function [x ft] = EProjSimplex_new(v, k) % %% Problem % % min 1/2 || x - v||^2 % s.t. x>=0, 1'x=k % if nargin < 2 k = 1; end; ft=1; n = length(v); v0 = v-mean(v) + k/n; %vmax = max(v0); vmin = min(v0); if vmin < 0 f = 1; lambda_m = 0; while abs(f) > 10^-10 v1 = v0 - lambda_m; posidx = v1>0; npos = sum(posidx); g = -npos; f = sum(v1(posidx)) - k; lambda_m = lambda_m - f/g; ft=ft+1; if ft > 100 x = max(v1,0); break; end; end; x = max(v1,0); else x = v0; end;

这段代码实现了求解以下优化问题的算法：

$$\begin{aligned} &\min_{x\in \mathbb{R}^n} \frac{1}{2}\|x-v\|^2 \\ &\text{s.t. } x\geq 0,\quad \mathbf{1}^\top x=k \end{aligned}$$

其中，$v\in \mathbb{R}^n$ 为给定向量，$k\in \mathbb{R}$ 为常数，$\mathbf{1}\in \mathbb{R}^n$ 为全1向量。

具体地，该算法实现了欧几里得投影法来求解上述问题。解析式为：

$$x = \mathcal{P}(v) = [\max(v_1-\theta,0),\dots,\max(v_n-\theta,0)]$$

其中，$\theta = \frac{1}{n}(\sum_{i=1}^n v_i-k)_+$，$(\cdot)_+=\max\{\cdot,0\}$。

该算法的具体实现如下：

function [x ft] = EProjSimplex_new(v, k)
% 求解问题：
% min  1/2 || x - v||^2
% s.t. x>=0, 1'x=k

if nargin < 2
    k = 1; 
end
ft=1; n = length(v);

v0 = v-mean(v) + k/n; % 中心化

vmin = min(v0); % 寻找最小值
if vmin < 0
    f = 1; lambda_m = 0;
    while abs(f) > 10^-10
        v1 = v0 - lambda_m;
        posidx = v1>0;
        npos = sum(posidx);
        g = -npos;
        f = sum(v1(posidx)) - k;
        lambda_m = lambda_m - f/g;
        ft=ft+1;
        if ft > 100
            x = max(v1,0);
            break;
        end
    end
    x = max(v1,0);
else
    x = v0;
end

具体来说，该函数的输入参数为一个行向量 $v$ 和一个标量 $k$，输出为一个行向量 $x$ 和一个迭代次数 $ft$。其中，$x$ 为上述优化问题的最优解，$ft$ 表示算法需要迭代的次数。

算法的具体实现步骤如下：

1. 对 $v$ 进行中心化，即令 $v_0= v-\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n v_i+\frac{k}{n}$；
2. 寻找 $v_0$ 的最小值 $v_{\min}$；
3. 如果 $v_{\min}\geq 0$，则直接返回 $v_0$；
4. 否则，使用欧几里得投影法迭代求解最优解 $x$：
- 初始化 $\lambda_m = 0$ 和 $f=1$；
- 当 $|f|>10^{-10}$ 且迭代次数 $ft\leq 100$ 时，执行以下操作：
1. 计算 $v_1 = v_0-\lambda_m$；
2. 找到 $v_1$ 中所有大于0的元素，得到下标集合 $posidx$ 和个数 $npos$；
3. 计算 $f = \sum_{i=1}^n (v_{1,i})_{+} - k$ 和 $g = -npos$；
4. 令 $\lambda_m = \lambda_m - f/g$；
5. 执行迭代次数加1；
- 如果迭代次数超过100次，直接返回 $x=\max\{v_1,0\}$；
- 否则，返回 $x=\max\{v_1,0\}$。

其中，$(\cdot)_{+}=\max\{\cdot,0\}$。

\frac{\lambda}{2\sin(\theta_{az,max})}$什么意思

这个式子中，$\lambda$表示电磁波的波长，$\theta_{az,max}$表示最大方位角，$\sin(\theta_{az,max})$表示最大方位角的正弦值。这个式子的意义是计算天线阵列中两个天线之间的最小间距，以保证它们之间的互相干扰不会超过一个可接受的阈值。这个式子通常用于无线通信系统设计中，以确保系统的性能符合要求。