f(x,y)=xarctan(1/sqrt(x^2+y^2)(x^2+y^2≠0），f(x,y)=0(x^2+y^2=0),在原点可微吗？

要判断 $f(x,y)$ 在原点是否可微，需要判断其在原点的偏导数是否存在且连续。

首先计算 $f(x,y)$ 关于 $x$ 的偏导数：

$$
\begin{aligned}
\frac{\partial f}{\partial x} &= \frac{\partial}{\partial x} \left[x\operatorname{arctan}\left(\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}\right)\right] \\
&= \operatorname{arctan}\left(\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}\right) - \frac{x}{(x^2+y^2)\sqrt{x^2+y^2}} \\
&= \operatorname{arctan}\left(\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}\right) - \frac{1}{x\sqrt{x^2+y^2}}
\end{aligned}
$$

然后计算 $f(x,y)$ 关于 $y$ 的偏导数：

$$
\begin{aligned}
\frac{\partial f}{\partial y} &= \frac{\partial}{\partial y} \left[x\operatorname{arctan}\left(\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}\right)\right] \\
&= \frac{x}{(x^2+y^2)\sqrt{x^2+y^2}} \\
&= \frac{1}{y}\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}
\end{aligned}
$$

因为 $\lim\limits_{(x,y)\to(0,0)}\frac{\partial f}{\partial x}$ 和 $\lim\limits_{(x,y)\to(0,0)}\frac{\partial f}{\partial y}$ 都存在，所以 $f(x,y)$ 在原点可微。