利用主定理说明以下时间函数的复杂度: T(n) = 9T(n/3) + n ;T(n) = T(2n/3) + 1 ;T(n) = 3T(n/4) + nlogn;T(n) = 2T(n/2) + 2

### 回答1：
回答：

1. 利用主定理，可以发现 T(n) = 9T(n/3) 的复杂度为 O(n^2)，因为 a = 9，b = 3，d = 2。

2. 利用主定理，可以发现 T(n) = T(2n/3) 的复杂度为 O(log n)，因为 a = 1，b = 3/2，d = 0。

3. 利用主定理，可以发现 T(n) = 3T(n/4) 的复杂度为 O(n log n)，因为 a = 3，b = 4/3，d = 1。

4. 利用主定理，可以发现 T(n) = 2T(n/2) 的复杂度为 O(n)，因为 a = 2，b = 2，d = 1。

### 回答2：
根据主定理，对于递归函数 T(n) = aT(n/b) + f(n)，其中 a >= 1, b > 1，f(n) 是一个非负函数。假设 T(n) 的求解时间复杂度为 O(n^d)。

对于第一个函数 T(n) = 9T(n/3) + n，根据主定理可知，a = 9，b = 3，f(n) = n。计算 log_b(a) = log_3(9) = 2，由于 f(n) = n = O(n^d)，其中 d = 1，因此根据主定理的情况2，T(n) 的时间复杂度为 O(n^d*log n) = O(nlog n)。

对于第二个函数 T(n) = T(2n/3) + 1，根据主定理可知，a = 1，b = 3/2，f(n) = 1。计算 log_b(a) = log_(3/2)(1) = 0，由于 f(n) = 1 = O(n^d)，其中 d = 0，因此根据主定理的情况1，T(n) 的时间复杂度为 O(n^d*log n) = O(log n)。

对于第三个函数 T(n) = 3T(n/4) + nlogn，根据主定理可知，a = 3，b = 4，f(n) = nlogn。计算 log_b(a) = log_4(3) ≈ 1.26，由于 f(n) = nlogn = O(n^d)，其中 d ≈ 1.26，因此根据主定理的情况3，T(n) 的时间复杂度为 O(n^d) ≈ O(n^1.26)。

对于第四个函数 T(n) = 2T(n/2) + 2，根据主定理可知，a = 2，b = 2，f(n) = 2。计算 log_b(a) = log_2(2) = 1，由于 f(n) = 2 = O(n^d)，其中 d = 0，因此根据主定理的情况1，T(n) 的时间复杂度为 O(n^d*log n) = O(log n)。

综上所述，第一个函数的时间复杂度为 O(nlog n)，第二个函数的时间复杂度为 O(log n)，第三个函数的时间复杂度为 O(n^1.26)，第四个函数的时间复杂度为 O(log n)。

### 回答3：
利用主定理是一种用来估算递归算法时间复杂度的方法。主定理适用于一类具有递归形式的问题，形如 T(n) = aT(n/b) + f(n) 的递归方程式。

对于第一个函数 T(n) = 9T(n/3)，其中 a = 9，b = 3，f(n) = n。根据主定理，若 f(n) = O(n^c)（其中 c >= 0），且 a/b^c < 1，则 T(n) = Θ(n^c)。在这个情况下，a/b^c = 9/(3^1) = 3 > 1。因此，主定理不适用于这个函数，我们无法利用主定理得出时间复杂度。

对于第二个函数 T(n) = T(2n/3)，其中 a = 1，b = 2/3，f(n) = 1。根据主定理，若 f(n) = Θ(n^c * log^k(n))（其中 c >= 0，k >= 0），则 T(n) = Θ(n^c * log^(k+1)(n))。在这个情况下，f(n) = Θ(1) = Θ(n^0 * log^0(n))。我们可以看出 a/b^c = (2/3)^0 = 1 < 1，且 k+1 = 1+1 = 2。因此，根据主定理可知 T(n) = Θ(n^0 * log^2(n)) = Θ(log^2(n))。

对于第三个函数 T(n) = 3T(n/4)，其中 a = 3，b = 4，f(n) = nlogn。根据主定理，若 f(n) = Θ(n^c * log^k(n))（其中 c > 0，k >= 0），则 T(n) = Θ(n^c * log^(k+1)(n))。在这个情况下，f(n) = Θ(nlogn) = Θ(n^1 * log^1(n))。我们可以看到 a/b^c = 3/(4^1) = 3/4 < 1，且 k+1 = 1+1 = 2。因此，根据主定理可知 T(n) = Θ(n^1 * log^2(n)) = Θ(nlog^2(n))。

对于第四个函数 T(n) = 2T(n/2)，其中 a = 2，b = 2，f(n) = 2。根据主定理，若 f(n) = Θ(n^c)（其中 c >= 0），则 T(n) = Θ(n^c * log(n))。在这个情况下，f(n) = Θ(2) = Θ(n^0)。我们可以看到 a/b^c = 2/(2^0) = 2 > 1。因此，主定理不适用于这个函数，我们无法利用主定理得出时间复杂度。