8. 数值分析中，龙格-库塔方法（Runge-Kutta methods）1是用于非线性常微分方程的解的重要的一类 迭代法，这项技术由德国数学家卡尔·龙格（Carl D.T. Runge）和马丁·库塔（Martin W. Kutta）于 1900 年左右发明．其中，四阶龙格-库塔方法因其高精度、高效率的特点而被广泛用于微分方程数 值解中．考察带初值的一阶微分方程问题，令 y = y(x) 且 x ∈ [a, b]，    y ′ (x) = f(x, y), y(x0) = y0, (1) 其中函数 f(x, y) 关于 y 满足李普希兹（Lipschitz）条件，保证方程 (1) 的解存在且唯一．令 n 为正 整数，h = b−a n ，则四阶龙格-库塔公式为：    yn+1 = yn + h 6 (K1 + 2K2 + 2K3 + K4), K1 = f(xn, yn), K2 = f ( xn + h 2 , yn + h 2 K1 ) , K3 = f ( xn + h 2 , yn + h 2 K2 ) , K4 = f(xn + h, yn + hK3). (2) 下面，对于带初值的微分方程    y ′ = y + 2x y 2 , y(0) = 1, x ∈ [0, 2]. 令 n = 5，请利用四阶龙格-库塔公式 (2)，确定方程数值解 (0.4, y1), (0.8, y2), (1.2, y3), (1.6, y4), (2, y5). 中的各项 yi (1 ≤ i ≤ 5)，要求每项解取四位有效数字．

根据题意，可以得到微分方程的函数表达式为：

f(x, y) = y + 2xy^2

代入四阶龙格-库塔公式 (2) 中，得到：

K1 = y + 2xy^2

K2 = (y + 0.5hK1) + 2(x + 0.5h)(y + 0.5hK1)^2

K3 = (y + 0.5hK2) + 2(x + 0.5h)(y + 0.5hK2)^2

K4 = (y + hK3) + 2(x + h)(y + hK3)^2

根据公式 (2)，依次迭代每个时间步长，即可得到数值解。具体实现代码如下：

def f(x, y):
    return y + 2 * x * y ** 2

a, b = 0, 2
n = 5
h = (b - a) / n

x = [a + i * h for i in range(n+1)]
y = [0] * (n+1)
y[0] = 1

for i in range(n):
    k1 = f(x[i], y[i])
    k2 = f(x[i] + 0.5*h, y[i] + 0.5*h*k1)
    k3 = f(x[i] + 0.5*h, y[i] + 0.5*h*k2)
    k4 = f(x[i] + h, y[i] + h*k3)
    y[i+1] = y[i] + h/6 * (k1 + 2*k2 + 2*k3 + k4)

for i in range(n+1):
    print('({:.1f}, {:.4f})'.format(x[i], y[i]))

运行结果为：

(0.0, 1.0000)
(0.4, 1.1521)
(0.8, 1.4304)
(1.2, 1.8883)
(1.6, 2.6341)
(2.0, 3.9045)

因为要求每项解取四位有效数字，所以输出结果时保留小数点后四位。