最速下降法求泊松方程matlab程序

最速下降法（Gradient Descent Method），也称为梯度下降算法，是一种优化方法，常用于求解数值问题，例如在最小化函数的过程中寻找其极小值。对于二维或更高维的函数，该方法通过沿着函数梯度的负方向迭代，逐步接近局部最优解。

在MATLAB中，我们可以编写一个简单的程序来应用最速下降法求解二维泊松方程。泊松方程是一个常见的偏微分方程，常出现在电磁学、流体力学等领域的模型中。这里假设我们有一个简单的一维线性版本的泊松方程，目标是最小化某个损失函数，比如残差平方和。

function [solution, history] = gradient_descent(poisson_eqn, initial_guess, learning_rate, num_iterations)
    % poisson_eqn: 用户自定义的泊松方程描述函数
    % initial_guess: 初始猜测解
    % learning_rate: 学习率，控制每次迭代的步长大小
    % num_iterations: 迭代次数

    solution = initial_guess; % 初始化解
    history = zeros(num_iterations, 2); % 记录历史解和损失值
    
    for iter = 1:num_iterations
        grad = diff(poisson_eqn(solution)); % 计算当前解的导数（梯度）
        next_solution = solution - learning_rate * grad; % 根据梯度更新解
        history(iter, :) = [iter, poisson_eqn(next_solution)]; % 更新历史记录
        solution = next_solution; % 设置新的解为当前迭代结果
    end
end

% 示例使用：一个简单的1D泊松方程例子（假设f(x) = x^2 + 1）
poisson_func = @(x) x.^2 + 1;
initial_guess = 0;
learning_rate = 0.01;
num_iterations = 100;

[solution, history] = gradient_descent(poisson_func, initial_guess, learning_rate, num_iterations);