动态规划为什么都需要填表？如何设计表格的结构

动态规划算法通过将原问题分解成子问题来求解，同时利用已经求解过的子问题的解来求解新的子问题，从而避免了重复计算。为了实现这一目标，动态规划算法需要将每个子问题的解存储在表格中，以便在需要时直接访问。

表格的结构需要根据具体问题来设计。一般来说，表格的行和列分别对应于子问题的解的参数。例如，对于最长公共子序列问题，表格的行和列分别对应于两个字符串的字符，表格中的每个元素表示对应子问题的解。对于背包问题，表格的行和列分别对应于物品和背包的容量，表格中的每个元素表示对应子问题的解。

在设计表格的结构时，需要考虑以下几个因素：

1. 子问题的解的参数是什么？

2. 子问题的解如何表示？

3. 子问题之间的依赖关系是什么？

4. 对于每个子问题，表格中的元素如何表示？

5. 表格的大小如何确定？

在实际应用中，表格的大小往往是根据子问题的规模来确定的，因此需要对问题的规模进行估计。同时，为了避免表格过大，需要考虑使用滚动数组等技术来优化空间使用。

相关问题

动态规划为什么都需要填表？如何设计表格的结构？

动态规划（Dynamic Programming）是一种算法思想，可以用来解决一些最优化问题，例如最长公共子序列、背包问题等等。而填表是动态规划算法的一种常见实现方式，其目的是将问题划分为子问题，并将子问题的结果存储在表格中，以便后续的计算复杂度降低。

设计表格的结构需要根据具体问题进行考虑，通常包括以下步骤：

1. 确定状态：首先需要确定问题的状态，例如在最长公共子序列问题中，状态可以定义为两个字符串的某个位置。在背包问题中，状态可以定义为背包剩余容量和可以选择的物品的集合。

2. 定义状态转移方程：根据问题的状态定义，需要定义状态之间的转移方程，即通过已知的状态，得到下一个状态的值。例如在最长公共子序列问题中，可以通过比较两个位置的值是否相等来更新状态。在背包问题中，可以判断是否选择当前物品来更新状态。

3. 创建表格：根据状态定义和转移方程，创建表格来存储每个状态的值。通常表格的行表示问题中的一个状态，列表示另一个状态，或者表示问题中的某个参数。

4. 填表：根据定义的状态转移方程，从表格的左上角开始，逐步填写每个状态的值，直到填满整个表格。

5. 返回结果：填表完成后，最终的结果通常可以在表格的右下角或某个特定位置中找到，这个值通常就是问题的最优解。

根据具体问题的不同，表格的结构也会不同，例如在最长公共子序列问题中，需要一个二维表格来存储两个字符串的所有位置的子问题结果。在背包问题中，需要一个二维表格来存储所有可能的物品和背包容量的子问题结果。

分治法与动态规划法求解的异同点？

### 回答1：

分治法是把一个复杂的问题分解成若干个相对简单的子问题，递归地求解子问题，而动态规划则是通过把原问题分解成若干个子问题，并存储子问题的答案，从而获得原问题的答案。两者的不同之处在于，分治法适用于求解最优解，而动态规划则是最优子结构和子问题重叠的情况。

### 回答2：
分治法和动态规划法都是常用的算法设计方法，它们之间有一些明显的异同点。

首先，分治法和动态规划法的相似之处在于它们都使用了递归的思想。两种方法都将原问题分解成若干个子问题，并通过对子问题的求解来得到原问题的解。因此，它们都具有相同的时间复杂度，通常为O(n^2)或O(2^n)。

然而，两种方法的不同之处在于它们对子问题的处理方式。分治法通过将问题划分成彼此相互独立的子问题，并将子问题的解合并起来得到原问题的解。每个子问题的解只需计算一次，然后进行合并，避免了重复计算，从而提高了算法的效率。而动态规划法则将问题划分成依赖关系的子问题，并使用一个表格来记录每个子问题的解，以避免重复计算。动态规划法利用了子问题之间的重叠性质，通过填表的方式逐步求解子问题，并最终得到原问题的解。

此外，分治法和动态规划法在设计思路上也有所不同。分治法通常通过递归的方式将问题划分，然后使用多个递归函数进行求解。每个递归函数的输入和输出都是问题的一部分。而动态规划法则侧重于自底向上的求解方法，它将问题划分为子问题，并使用迭代的方式逐步求解。动态规划法通常使用一维或二维数组来记录中间结果，以实现时间和空间的优化。

总的来说，分治法和动态规划法都是重要的算法设计思想，它们在解决问题时有各自的优势和适用范围。分治法适用于问题可以划分为独立子问题，并且问题的子问题间没有重叠的情况。而动态规划法适用于问题的子问题具有重叠性质，并且需要使用表格记录中间结果。

### 回答3：
分治法和动态规划法是两种常用的算法设计方法，它们有一些相似之处，也有一些不同之处。

首先，分治法和动态规划法的相似点在于都将原问题分解为几个子问题，并通过求解子问题来最终求解原问题。它们都是将复杂的问题简化为更小规模的子问题进行求解，然后再将子问题的解合并起来得到原问题的解。

其次，分治法和动态规划法的不同点在于它们对子问题的求解方式不同。分治法将原问题划分为互不相交的子问题，每个子问题独立求解，并将每个子问题的解合并起来得到原问题的解。而动态规划法则将原问题划分为重叠的子问题，通过存储子问题的解并重复利用，避免重复计算，从而提高算法的效率。

另外，动态规划法还具有最优子结构的特点，即原问题的最优解可以由子问题的最优解通过递推关系得到。这使得动态规划法在求解最优化问题时比分治法更加高效。

在应用上，分治法常用于解决可拆分为多个相似子问题的问题，如求解大规模矩阵的乘法、排序等。而动态规划法常用于求解具有最优子结构的问题，如求解背包问题、最长公共子序列等。

总而言之，分治法和动态规划法都是解决复杂问题的有效方法，它们在问题分解和求解方式上略有不同，因此在具体应用中根据问题的性质和特点选择合适的方法能够达到更好的效果。