双目标函数表达式求最优解

双目标函数通常形式为：

minimize f1(x), f2(x)

其中 x 是决策变量，f1(x) 和 f2(x) 是需要最小化的两个目标函数。双目标函数问题的解决需要用到多目标优化算法。

常见的多目标优化算法包括：

1. 基于加权和的方法：将多个目标函数加权求和，将多目标问题转化为单目标问题，再使用单目标优化算法求解。

2. Pareto最优解法：寻找所有非支配解的集合，即不能被其他解支配的解，并从中选择出最优解。

3. 其他算法：如NSGA-II，MOEA/D等，这些算法能够有效地寻找到多目标问题的最优解。

需要注意的是，在实际应用中，双目标函数可能存在冲突，即无法同时最小化两个目标函数。此时需要进行取舍，选择更加合适的解。

相关问题

根据对偶问题的最最优解求原问题最优解

### 使用对偶问题最优解计算原问题最优解

当原问题与对偶问题都存在可行解时，只要其中一个有最优解，则两者均有最优解，并且两者的最优目标函数值相同[^1]。

对于线性规划中的标准形式及其对应的对偶问题，在找到对偶问题的最优解之后，可以通过特定方法反推出原问题的最优解。具体而言：

- **基变量**：对偶问题中基变量的取值等于原问题最终单纯形表里对应松弛变量检验数（即减去目标函数系数后的差值）的相反数；

- **非基变量**：对偶问题里的非基变量则对应于原问题中基变量检验数的相反数值[^2]。

#### 实际操作流程展示

假设已经得到了对偶问题的一个基本可行解\(y^*\)，那么可以按照如下方式构建原问题的基本可行解\(x^*\):

如果已知对偶问题是关于最小化问题的标准型\[ \min\{c'y|A'y≥b', y≥0\} \]

而其原始问题是最大化问题的形式\[ \max\{b'x | Ax≤c, x ≥ 0\}\]

此时可以根据上述原则建立关系并求得\(x\)的具体表达式:

import numpy as np

def get_original_solution(dual_optimal_basis_values, primal_simplex_tableau):
    """
    计算基于对偶问题最优解得到的原问题最优解
    
    参数:
        dual_optimal_basis_values (list): 对偶问题最优解的基础变量值列表.
        primal_simplex_tableau (numpy.ndarray): 原问题的最优单纯形表格矩阵.

    返回:
        list: 表示原问题最优解向量.
    """

    # 获取单纯形表最后一列作为检验数部分
    zj_cj = primal_simplex_tableau[-1][:-1]
    
    # 初始化原问题解向量
    original_solution = []

    for i in range(len(zj_cj)):
        if i < len(dual_optimal_basis_values):
            # 处理基变量情况
            value = -dual_optimal_basis_values[i]
        else:
            # 非基变量处理
            value = -zj_cj[i-len(dual_optimal_basis_values)]
        
        original_solution.append(value)

    return original_solution


# 示例数据输入
dual_optimal_basis_values_example = [3, 4]  # 这是对偶问题最优解下的基础变量值
primal_simplex_tableau_example = np.array([
    [1., 2., 3., 1., 0., 0.],
    [4., 5., 6., 0., 1., 0.],
    [-7., -8., -9., 0., 0., 1.]])  # 此处最后行为检验数行

original_solution_result = get_original_solution(
    dual_optimal_basis_values_example,
    primal_simplex_tableau_example
)
print(original_solution_result)

此代码片段展示了如何利用给定的对偶问题最优解以及原问题的最优单纯形表来推导出原问题的最优解。

写matlab代码用斐波那契法求函数最优解打印迭代过程

在MATLAB中，你可以使用循环结构（如for循环）结合斐波那契搜索算法来近似找到某个函数的最小值。斐波那契搜索是一种优化搜索策略，它利用斐波那契数列的特点来缩小搜索范围。下面是一个简单的示例，假设我们要找的是一个名为`f(x)`的一元函数的最小值：

% 定义一个一元函数（这里仅作示例，你需要替换为你实际需要求解的函数）
function f = my_function(x)
    % 替换为你的函数表达式
    f = x^2; % 这里是个简单的平方函数，实际问题可能更复杂

% 斐波那契数列生成函数
fibonacci = @(n) fibonacci_helper(n);

% 斐波那契搜索函数
function result = fibonacci_search(f, a, b, tol)
    fibs = fibonacci(4); % 初始化斐波那契数列长度
    while (b - a) >= tol
        c = a + fibs(3) * (b - a);
        if f(a) > f(c)
            a = c;
        else
            b = a;
        end
        
        % 更新斐波那契数列
        fibs = fibs(2:end+1);
        
        fprintf('Iteration: %.2f, Function Value at X: %.2f\n', c, f(c)); % 打印迭代过程
    end
    result = a; % 返回最终估计的最小值
end

% 示例函数和边界条件
f = @my_function;
a = 0; % 下界，b = 上界，可根据需求设置
b = 10; % 可能的初始范围
tol = 1e-6; % 精度阈值

% 开始搜索并打印迭代过程
[min_val, min_x] = fibonacci_search(f, a, b, tol);
fprintf('Minimum value occurs at X = %.2f with the value of %.2f\n', min_x, min_val);

在这个例子中，`my_function`是你需要优化的目标函数，`fibonacci_search`函数负责执行斐波那契搜索。每次迭代都会打印出当前的猜测点及其对应的函数值。