$$ \begin{aligned} y &= z_{i} \ \lambda_{i} &\geq 0 \ \sum_{i=1}^{n} \lambda_{i} &= 1 \end{aligned} $$该段式子如何理解

这个式子描述了一个线性组合的形式，其中 $y$ 是一个向量，$z_i$ 也是向量，$\lambda_i$ 是标量。这个式子的含义是，通过对向量 $z_i$ 进行加权线性组合，得到向量 $y$。每个向量 $z_i$ 与其对应的权重 $\lambda_i$ 构成一项，所有项的权重之和为1。

第一行的式子表明，$y$ 是向量 $z_i$ 的线性组合，每个向量 $z_i$ 的权重是 $\lambda_i$。这个式子中的乘法是向量和标量之间的乘法，即对每个向量 $z_i$ 的每个分量都乘上 $\lambda_i$。

第二行的式子表明，所有权重之和为1，即所有向量 $z_i$ 的权重 $\lambda_i$ 加起来等于1。这是对权重进行约束的条件，使得线性组合后的结果与原始向量的比例保持一致。

相关问题

详细解释这段代码：function [x ft] = EProjSimplex_new(v, k) % %% Problem % % min 1/2 || x - v||^2 % s.t. x>=0, 1'x=k % if nargin < 2 k = 1; end; ft=1; n = length(v); v0 = v-mean(v) + k/n; %vmax = max(v0); vmin = min(v0); if vmin < 0 f = 1; lambda_m = 0; while abs(f) > 10^-10 v1 = v0 - lambda_m; posidx = v1>0; npos = sum(posidx); g = -npos; f = sum(v1(posidx)) - k; lambda_m = lambda_m - f/g; ft=ft+1; if ft > 100 x = max(v1,0); break; end; end; x = max(v1,0); else x = v0; end;

这段代码实现了求解以下优化问题的算法：

$$\begin{aligned} &\min_{x\in \mathbb{R}^n} \frac{1}{2}\|x-v\|^2 \\ &\text{s.t. } x\geq 0,\quad \mathbf{1}^\top x=k \end{aligned}$$

其中，$v\in \mathbb{R}^n$ 为给定向量，$k\in \mathbb{R}$ 为常数，$\mathbf{1}\in \mathbb{R}^n$ 为全1向量。

具体地，该算法实现了欧几里得投影法来求解上述问题。解析式为：

$$x = \mathcal{P}(v) = [\max(v_1-\theta,0),\dots,\max(v_n-\theta,0)]$$

其中，$\theta = \frac{1}{n}(\sum_{i=1}^n v_i-k)_+$，$(\cdot)_+=\max\{\cdot,0\}$。

该算法的具体实现如下：

function [x ft] = EProjSimplex_new(v, k)
% 求解问题：
% min  1/2 || x - v||^2
% s.t. x>=0, 1'x=k

if nargin < 2
    k = 1; 
end
ft=1; n = length(v);

v0 = v-mean(v) + k/n; % 中心化

vmin = min(v0); % 寻找最小值
if vmin < 0
    f = 1; lambda_m = 0;
    while abs(f) > 10^-10
        v1 = v0 - lambda_m;
        posidx = v1>0;
        npos = sum(posidx);
        g = -npos;
        f = sum(v1(posidx)) - k;
        lambda_m = lambda_m - f/g;
        ft=ft+1;
        if ft > 100
            x = max(v1,0);
            break;
        end
    end
    x = max(v1,0);
else
    x = v0;
end

具体来说，该函数的输入参数为一个行向量 $v$ 和一个标量 $k$，输出为一个行向量 $x$ 和一个迭代次数 $ft$。其中，$x$ 为上述优化问题的最优解，$ft$ 表示算法需要迭代的次数。

算法的具体实现步骤如下：

1. 对 $v$ 进行中心化，即令 $v_0= v-\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n v_i+\frac{k}{n}$；
2. 寻找 $v_0$ 的最小值 $v_{\min}$；
3. 如果 $v_{\min}\geq 0$，则直接返回 $v_0$；
4. 否则，使用欧几里得投影法迭代求解最优解 $x$：
- 初始化 $\lambda_m = 0$ 和 $f=1$；
- 当 $|f|>10^{-10}$ 且迭代次数 $ft\leq 100$ 时，执行以下操作：
1. 计算 $v_1 = v_0-\lambda_m$；
2. 找到 $v_1$ 中所有大于0的元素，得到下标集合 $posidx$ 和个数 $npos$；
3. 计算 $f = \sum_{i=1}^n (v_{1,i})_{+} - k$ 和 $g = -npos$；
4. 令 $\lambda_m = \lambda_m - f/g$；
5. 执行迭代次数加1；
- 如果迭代次数超过100次，直接返回 $x=\max\{v_1,0\}$；
- 否则，返回 $x=\max\{v_1,0\}$。

其中，$(\cdot)_{+}=\max\{\cdot,0\}$。

考虑优化问题 min (x,y)∈R 2 f(x) = (x − 1) 2 + y − 2 s.t. h(x) = y − x − 1 = 0 g(x) = x + y − 2 ≤ 0. 计算满足 KKT 条件的点, 并利用二阶条件验证上述点是否是局部极小值点.

首先，我们写出拉格朗日函数：

$$L(x,y,\lambda_1,\lambda_2) = (x-1)^2 + y - 2 + \lambda_1(y-x-1) + \lambda_2(x+y-2)$$

然后，我们计算其梯度和海森矩阵：

$$\nabla L = \begin{bmatrix} 2(x-1) + \lambda_1 + \lambda_2 \\ 1 + \lambda_1 + \lambda_2 \\ y-x-1 \\ x+y-2 \end{bmatrix}$$

$$\nabla^2 L = \begin{bmatrix} 2 & 0 & -\lambda_1 + \lambda_2 & \lambda_1 + \lambda_2 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ -\lambda_1 + \lambda_2 & 1 & 0 & 0 \\ \lambda_1 + \lambda_2 & 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}$$

根据KKT条件，我们有以下方程组：

$$\begin{cases} \nabla f(x,y) + \lambda_1 \nabla h(x,y) + \lambda_2 \nabla g(x,y) = 0 \\ h(x,y) = 0 \\ g(x,y) \leq 0 \\ \lambda_2 \geq 0 \\ \lambda_2 g(x,y) = 0 \end{cases}$$

我们先来看第一个条件：

$$\begin{aligned} \nabla f(x,y) + \lambda_1 \nabla h(x,y) + \lambda_2 \nabla g(x,y) &= \begin{bmatrix} 2(x-1) + \lambda_1 + \lambda_2 \\ 1 + \lambda_1 + \lambda_2 \\ y-x-1 \\ x+y-2 \end{bmatrix} + \lambda_1 \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} + \lambda_2 \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} 2(x-1) - \lambda_1 + \lambda_2 + \lambda_1 \lambda_2 \\ 1 + \lambda_1 + \lambda_2 + \lambda_1 \lambda_2 \\ y-x-1 \\ x+y-2 \end{bmatrix} \end{aligned}$$

因为我们要求解的是KKT条件，所以我们有$\nabla f(x,y) + \lambda_1 \nabla h(x,y) + \lambda_2 \nabla g(x,y) = 0$。因此，我们可以得到：

$$2(x-1) - \lambda_1 + \lambda_2 + \lambda_1 \lambda_2 = 0$$

$$1 + \lambda_1 + \lambda_2 + \lambda_1 \lambda_2 = 0$$

$$y-x-1 = 0$$

$$x+y-2 \leq 0$$

$$\lambda_2 \geq 0$$

$$\lambda_2 (x+y-2) = 0$$

接下来，我们考虑如何求解这个方程组。首先，我们可以通过第二个方程得到$\lambda_1 = -1 - \lambda_2 - \lambda_1 \lambda_2$。将其带回第一个方程中，我们可以得到：

$$\begin{aligned} 2(x-1) - \lambda_1 + \lambda_2 + \lambda_1 \lambda_2 &= 0 \\ 2(x-1) + 1 + \lambda_2 + (1 + \lambda_2 + \lambda_1 \lambda_2) \lambda_2 &= 0 \\ 2(x-1) + 1 + \lambda_2 + \lambda_2 + \lambda_2^2 + \lambda_1 \lambda_2^2 &= 0 \\ 2(x-1) + 2\lambda_2 + \lambda_2^2 - (\lambda_2^2 + \lambda_2) &= 0 \\ 2(x-1) + \lambda_2 &= 0 \\ x &= \frac{1}{2} - \frac{1}{2}\lambda_2 \end{aligned}$$

然后，我们可以将$x$代入到$h(x,y) = 0$中，得到：

$$y = \frac{3}{2} + \frac{1}{2}\lambda_2$$

接下来，我们可以将$x$和$y$代入到$g(x,y) \leq 0$中，得到：

$$\frac{1}{2} - \frac{1}{2}\lambda_2 + \frac{3}{2} + \frac{1}{2}\lambda_2 - 2 \leq 0$$

$$\frac{1}{2} - \frac{1}{2}\lambda_2 + \frac{3}{2} + \frac{1}{2}\lambda_2 \leq 2$$

$$2 \leq 2$$

因此，上述点满足所有的约束条件。接下来，我们需要验证该点是否为局部极小值点，即需要检查其海森矩阵是否为正定矩阵。将$x = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}\lambda_2$和$y = \frac{3}{2} + \frac{1}{2}\lambda_2$代入到$\nabla^2 L$中，得到：

$$\nabla^2 L = \begin{bmatrix} 2 & 0 & -\lambda_1 + \lambda_2 & \lambda_1 + \lambda_2 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ -\lambda_1 + \lambda_2 & 1 & 0 & 0 \\ \lambda_1 + \lambda_2 & 1 & 0 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}$$

我们可以计算该矩阵的主子式，得到：

$$\begin{aligned} \Delta_1 &= 2 > 0 \\ \Delta_2 &= 0 - 0 = 0 \\ \Delta_3 &= \begin{vmatrix} 2 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \\ -1 & 1 & 0 \end{vmatrix} = 0 > 0 \\ \Delta_4 &= \begin{vmatrix} 2 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \end{vmatrix} = 0 - 0 = 0 \end{aligned}$$

因此，$\nabla^2 L$不是正定矩阵，该点不是局部极小值点。