python实现求互信息的链式法则并举例

互信息（Mutual Information）是用来度量两个随机变量之间的相关性的指标，表示当一个随机变量发生时，另一个随机变量发生的概率与该随机变量不发生时另一个随机变量发生的概率的比值。

链式法则是指将多个随机变量的联合分布表示为各个随机变量条件概率的乘积，即：

P(X1,X2,...,Xn) = P(X1)P(X2|X1)P(X3|X1,X2)...P(Xn|X1,X2,...,Xn-1)

根据互信息的定义，可以得到两个随机变量X和Y的互信息为：

I(X;Y) = ∑x∈X ∑y∈Y P(x,y) log(P(x,y)/(P(x)P(y)))

将链式法则带入上式，可以得到：

I(X;Y) = ∑x∈X ∑y∈Y P(x,y) log(P(x,y)/(P(x)P(y)))
= ∑x∈X ∑y∈Y P(x,y) log(P(x|y)/P(x))
= ∑x∈X ∑y∈Y P(x,y) log(P(y|x)/P(y))

以下是一个 Python 实现示例：

import numpy as np

def mutual_information(x, y):
    # 计算联合概率分布
    joint_prob = np.zeros((len(set(x)), len(set(y))))
    for i, j in zip(x, y):
        joint_prob[i, j] += 1
    joint_prob /= len(x)

    # 计算边缘概率分布
    px = joint_prob.sum(axis=1)
    py = joint_prob.sum(axis=0)

    # 计算互信息
    mi = 0
    for i in range(len(px)):
        for j in range(len(py)):
            if joint_prob[i, j] > 0:
                mi += joint_prob[i, j] * np.log2(joint_prob[i, j] / (px[i] * py[j]))

    return mi

假设有两个随机变量 X 和 Y，其取值范围分别为 {0, 1, 2} 和 {0, 1}，且其联合分布为：

| X\Y | 0 | 1 |
| --- | --- | --- |
| 0 | 0.1 | 0.2 |
| 1 | 0.2 | 0.5 |
| 2 | 0.2 | 0.0 |

则可以通过以下代码计算出 X 和 Y 的互信息：

x = [0, 0, 1, 1, 1, 2, 2]
y = [0, 1, 0, 0, 1, 0, 1]

mi = mutual_information(x, y)
print(mi)  # 输出结果为 0.18872187554086763