min\ f=\sum_{i=1}^{12}{\sum_{j=1}^{2}l_{ij}\omega_i\sqrt{\left(a_i-x_i\right)^2+\left(b_j-y_i\right)^2}}转化为lingo代码

以下是将该目标函数转化为 Lingo 代码的示例：

MIN = @SUM(i in 1..12, j in 1..2) l(i,j) * w(i) * sqrt((a(i)-x(i))^2 * (b(j)-y(i))^2)

其中，`@SUM` 表示对集合中的所有元素求和，`i in 1..12` 表示变量 `i` 取值范围为 1 到 12，`j in 1..2` 表示变量 `j` 取值范围为 1 到 2，`l(i,j)` 表示二元组 `(i,j)` 的权重，`w(i)` 表示变量 `i` 的权重，`a(i)` 和 `b(j)` 分别表示常量向量 `a` 和 `b` 的第 `i` 个和第 `j` 个元素，`x(i)` 和 `y(i)` 分别表示变量 `i` 的两个坐标值。

相关问题

用matlab 解决$$\max \sum_{i=1}^{500}\sum_{j=1}^{500} x_{i,j}$$ s.t. $$\sum_{i=i_0}^{i_0+9}\sum_{j=j_0}^{j_0+9} x_{i,j} \leq 1, \forall i_0,j_0,h$$ $$\sum_{i=i_0-h}^{i_0+h}\sum_{j=j_0-h}^{j_0+h} x_{i,j} \leq (2h+1)^2, \forall i_0,j_0,h$$ $$\sum_{i=i_0-d}^{i_0+d}\sum_{j=j_0-d}^{j_0+d} x_{i,j} \leq \pi(2.5)^2, \forall i_0,j_0$$ $$\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{500}\sum_{j=1}^{500}(h_{i,j}-\bar{h})^2 \leq \sigma^2$$ $$\sum_{i=1}^{500}\sum_{j=1}^{500}(h_{i,j}-\bar{h}_{i,j})^2 \leq \delta$$ $$\sum_{i=1}^{500}\sum_{j=1}^{500} (10h_{i,j}+10)x_{i,j} \leq B$$ $$x_{i,j} \in {0,1}, \forall i,j$$

这是一个线性规划问题。可以使用MATLAB内置的线性规划求解器来解决。

首先，将目标函数 $\max \sum_{i=1}^{500}\sum_{j=1}^{500} x_{i,j}$ 转化为 $\min -\sum_{i=1}^{500}\sum_{j=1}^{500} x_{i,j}$。

然后，根据约束条件，可以列出线性规划模型的标准形式：

$$\begin{aligned} \min -\sum_{i=1}^{500}\sum_{j=1}^{500} x_{i,j} \\ s.t. \quad \sum_{i=i_0}^{i_0+9}\sum_{j=j_0}^{j_0+9} x_{i,j} &\leq 1, \quad \forall i_0,j_0,h \\ \sum_{i=i_0-h}^{i_0+h}\sum_{j=j_0-h}^{j_0+h} x_{i,j} &\leq (2h+1)^2, \quad \forall i_0,j_0,h \\ \sum_{i=i_0-d}^{i_0+d}\sum_{j=j_0-d}^{j_0+d} x_{i,j} &\leq \pi(2.5)^2, \quad \forall i_0,j_0 \\ \frac{1}{N}\sum_{i=1}^{500}\sum_{j=1}^{500}(h_{i,j}-\bar{h})^2 &\leq \sigma^2 \\ \sum_{i=1}^{500}\sum_{j=1}^{500}(h_{i,j}-\bar{h}_{i,j})^2 &\leq \delta \\ \sum_{i=1}^{500}\sum_{j=1}^{500} (10h_{i,j}+10)x_{i,j} &\leq B \\ x_{i,j} &\in \{0,1\}, \quad \forall i,j \end{aligned}$$

其中 $\bar{h}$ 表示 $h_{i,j}$ 的均值，$N=500\times 500$，$h_{i,j}$ 是一个变量。将 $h_{i,j}$ 表示为 $10x_{i,j}+10$，则目标函数可以表示为 $\sum_{i=1}^{500}\sum_{j=1}^{500} (10h_{i,j}+10)x_{i,j}=\sum_{i=1}^{500}\sum_{j=1}^{500} h_{i,j}+5\times 10^6$。

现在，我们可以使用MATLAB内置的线性规划求解器来解决这个问题。下面是MATLAB代码：

% 构造线性规划模型
n = 500;
N = n^2;
d = 2;
h = 9;
B = 5e7;

model.A = sparse([], [], [], 5*N+2*d^2*n^2, N);
model.rhs = zeros(5*N+2*d^2*n^2, 1);
model.sense = repmat('<', 5*N+2*d^2*n^2, 1);
model.lb = zeros(N, 1);
model.ub = ones(N, 1);

% 目标函数
model.obj = -ones(N, 1);

idx = 1;

% 约束条件1
for i = 1:n
    for j = 1:n
        for k = 0:h
            if i+k <= n && j+k <= n
                model.A(idx, (i-1)*n+j) = 1;
            end
        end
        model.rhs(idx) = 1;
        idx = idx+1;
    end
end

% 约束条件2
for i = 1:n
    for j = 1:n
        for k = 0:d
            if i+k <= n && i-k >= 1 && j+k <= n && j-k >= 1
                model.A(idx, (i-1)*n+j) = 1;
            end
        end
        model.rhs(idx) = (2*d+1)^2;
        idx = idx+1;
    end
end

% 约束条件3
for i = 1:n
    for j = 1:n
        for k = 0:d
            if i+k <= n && i-k >= 1 && j+k <= n && j-k >= 1
                model.A(idx, (i-1)*n+j) = 1;
            end
        end
        model.rhs(idx) = pi*(2.5)^2;
        idx = idx+1;
    end
end

% 约束条件4
for i = 1:n
    for j = 1:n
        model.A(idx, (i-1)*n+j) = 1;
    end
    model.rhs(idx) = 1;
    idx = idx+1;
end

% 约束条件5
for i = 1:n
    for j = 1:n
        model.A(idx, (i-1)*n+j) = 1;
    end
    model.rhs(idx) = delta;
    idx = idx+1;
end

% 约束条件6
for i = 1:n
    for j = 1:n
        model.A(idx, (i-1)*n+j) = 10;
    end
    model.rhs(idx) = B-5*N*10;
    idx = idx+1;
end

% 求解线性规划
options = optimoptions('linprog', 'Algorithm', 'dual-simplex', 'Display', 'iter');
[x, fval, exitflag, output] = linprog(model.obj, model.A, model.rhs, [], [], model.lb, model.ub, options);

其中，`idx` 是当前约束条件的编号，`model.A` 是约束条件的系数矩阵，`model.rhs` 是约束条件的右侧向量，`model.sense` 是约束条件的符号，`model.lb` 和 `model.ub` 分别是变量的下界和上界，`options` 是线性规划求解器的选项。

\min_{d_1,\ldots,d_{10}} \sum_{i=1}^{10}\sum_{j=1}^{200} e_{ij}^2

这是一个最小二乘问题，要求解的是10个变量$d_1$到$d_{10}$，使得所有误差的平方和最小。可以使用最小二乘法来求解。

首先将目标函数展开：

$\sum_{i=1}^{10}\sum_{j=1}^{200} e_{ij}^2 = \sum_{i=1}^{10}\sum_{j=1}^{200} (y_{ij} - \sum_{k=1}^{10} x_{ijk}d_k)^2$

其中，$y_{ij}$是第$i$个样本的第$j$个特征的实际值，$x_{ijk}$是第$i$个样本的第$j$个特征在$d_k$上的系数，$d_k$是要求解的第$k$个变量。

将目标函数对$d_k$求偏导数，令其为0，得到：

$\frac{\partial}{\partial d_k} \sum_{i=1}^{10}\sum_{j=1}^{200} e_{ij}^2 = 2\sum_{i=1}^{10}\sum_{j=1}^{200} (y_{ij} - \sum_{k=1}^{10} x_{ijk}d_k)(-x_{ijk}) = 0$

整理得到：

$\sum_{i=1}^{10}\sum_{j=1}^{200} x_{ijk}(y_{ij} - \sum_{k=1}^{10} x_{ijk}d_k) = 0$

这是一个包含10个方程、10个未知数的线性方程组，可以使用矩阵运算求解。令$X$为一个$200\times10$的矩阵，其中第$i$行表示第$i$个样本在$d_1$到$d_{10}$上的系数；$D$为一个$10\times1$的矩阵，其中第$i$个元素表示要求解的第$i$个变量；$Y$为一个$200\times1$的矩阵，其中第$i$个元素表示第$i$个样本的第$j$个特征的实际值。则上式可以表示为：

$X^T(XD-Y)=0$

解出$D$即可。