基于动态规划的流水作业调度问题

流水作业调度问题是指在一条流水线上对一批作业进行调度，使得作业完成时间最短。该问题可以用动态规划求解。

具体来说，我们可以将流水线划分为若干个工作站，每个工作站只能处理一种作业。假设有 $n$ 个作业和 $m$ 个工作站，第 $i$ 个作业需要在第 $a_i$ 个工作站开始加工，加工时间为 $t_i$，加工完成后需要在第 $b_i$ 个工作站结束。我们定义 $f_{i,j}$ 表示前 $i$ 个作业已经安排好了，且最后一个作业在第 $j$ 个工作站结束的最短时间。则状态转移方程为：

$$f_{i,j}=\min\limits_{k=1}^{m} \{f_{i-1,k}+c_{k,j}\}+t_{i},\ \ a_i\geq j>b_i$$

其中 $c_{i,j}$ 表示从第 $i$ 个工作站到第 $j$ 个工作站的传输时间，也就是在第 $i$ 个工作站结束的作业需要在第 $j$ 个工作站开始加工的时间。

最终的答案为 $\min\limits_{j=1}^{m}\{f_{n,j}\}$，即最后一个作业任意结束的最短时间。

时间复杂度为 $O(nm^2)$，可以通过优化空间复杂度来进一步优化时间复杂度。

相关问题

基于动态规划的流水作业调度问题代码

下面是一个简单的基于动态规划的流水作业调度问题的代码实现，其中包括了计算最小时间和输出最优解的部分：

def flow_shop_sched_makespan(n, m, p):
    # 计算最小时间
    dp = [[0] * m for _ in range(n)]
    for i in range(n):
        for j in range(m):
            if i == 0 and j == 0:
                dp[i][j] = p[i][j]
            elif i == 0:
                dp[i][j] = dp[i][j-1] + p[i][j]
            elif j == 0:
                dp[i][j] = dp[i-1][j] + p[i][j]
            else:
                dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-1]) + p[i][j]
    makespan = dp[n-1][m-1]

    # 输出最优解
    res = []
    i, j = n-1, m-1
    while i >= 0 and j >= 0:
        res.append((i, j))
        if i == 0 and j == 0:
            break
        elif i == 0:
            j -= 1
        elif j == 0:
            i -= 1
        else:
            if dp[i-1][j] >= dp[i][j-1]:
                i -= 1
            else:
                j -= 1
    res.reverse()
    return makespan, res

其中，输入参数 `n` 表示作业数量，`m` 表示机器数量，`p` 是一个大小为 `n x m` 的矩阵，表示每个作业在每台机器上的处理时间。输出结果是最小时间和最优解，最优解是一个包含 `(i, j)` 元组的列表，表示第 `i` 个作业在第 `j` 台机器上执行。

给出基于动态规划的流水作业调度问题的算法描述

流水作业调度问题是指在流水线上有n个工作站，每个工作站需要完成一个任务，每个任务需要在每个工作站上花费一定的时间。假设每个工作站都是单线程的，即同一时间只能处理一个任务，且任务只能按照流水线的顺序依次完成，即在完成第i个工作站之前，必须先完成前面的i-1个工作站。

动态规划算法描述如下：

1. 定义状态：设dp[i]表示完成前i个工作站所需的最短时间。

2. 初始化状态：dp[0]=0，即前0个工作站所需的时间为0。

3. 状态转移方程：对于每个工作站i，设每个任务j在该工作站上所需的时间为cost[i][j]，则有：

dp[i] = min{dp[i-1]+cost[i][j]}，其中j表示在第i个工作站上完成的任务编号。

4. 最终答案：dp[n]，即完成前n个工作站所需的最短时间。

具体实现时，可以使用二维数组来存储每个任务在每个工作站上的时间，即cost[i][j]表示第i个工作站上完成任务j所需的时间。同时，可以使用一个二维数组来保存每个工作站上完成不同任务所需的最短时间，即dp[i][j]表示完成前i个工作站且在第i个工作站上完成任务j所需的最短时间。

状态转移方程可以改写为：

dp[i][j] = min{dp[i-1][k]+cost[i][j]}，其中k表示在第i-1个工作站上完成的任务编号。

最终答案即为dp[n][j]中的最小值。