分枝限界法求解流水作业调度问题

流水作业调度问题是指有n个作业需要在m台机器上完成，每个作业需要在一台机器上连续加工若干时间，每台机器同一时间只能加工一个作业，求完成所有作业的最短时间。分枝限界法是一种求解最优化问题的算法，可以用来解决流水作业调度问题。具体步骤如下：

1. 定义状态空间：将每个作业看作一个状态，每个状态包含两个属性：已经完成的作业和未完成的作业。

2. 定义状态扩展规则：对于每个状态，可以选择一个未完成的作业分配给一台机器进行加工，得到一个新的状态。

3. 定义状态评价函数：对于每个状态，计算已经完成的作业的总时间加上未完成的作业的最短时间估计值，作为该状态的评价函数。

4. 定义优先队列：将所有状态按照评价函数的大小排序，每次选择评价函数最小的状态进行扩展。

5. 进行状态扩展：对于选择的状态，按照所有未完成作业的顺序进行扩展，得到新的状态，并将新状态加入优先队列。

6. 剪枝：如果某个状态的评价函数大于当前最优解，则该状态可以被剪枝。

7. 循环执行步骤4-6，直到找到最优解或者队列为空。

以下是基于优先队列的分枝限界算法的流水作业调度问题的C++代码实现，供参考：

<<引用>>

--相关问题--:
1. 什么是流水作业调度问题？
2. 除了分枝限界法，还有哪些算法可以用来解决流水作业调度问题？
3.

相关问题

简述分支限界法求解流水作业调度问题的思路，举例说明给出计算步骤

分支限界法是一种解决优化问题的算法，其中流水作业调度问题是一种典型的优化问题。其思路是通过不断分支扩展搜索树来找到最优解，同时使用限界函数来剪枝减少搜索的范围。

具体地，对于流水作业调度问题，我们要求解的是 n 个作业在 m 台机器上的调度问题，使得每个作业都被顺序地加工完成，并且最终的完成时间最短。这个问题可以表示成一个 n*m 的矩阵，其中每个元素表示对应的作业在对应的机器上的加工时间。

分支限界法的思路是将所有可能的调度方案组成的集合看成一棵搜索树，其中每个节点表示一个部分解（即已经安排好了一部分作业的调度方案），其子节点表示在当前部分解基础上，加工下一个作业的所有可能的调度方案。

对于每个节点，我们可以计算出一个上界值（也称为限界函数），表示在当前部分解的基础上，剩余作业的最短完成时间。通过比较当前节点的上界值和当前找到的最优解，可以决定是否需要继续搜索该节点的子节点，或者将该节点从搜索树中剪枝。

下面举一个例子来说明分支限界法求解流水作业调度问题的计算步骤：

假设有 3 个作业，分别需要在 2 台机器上加工，加工时间矩阵为：

| 2 | 1 |
|---|---|
| 3 | 2 |
| 1 | 4 |

首先，我们初始化搜索树，将根节点设为一个空的调度方案。

然后，我们计算根节点的上界值，即将所有作业按照加工时间从小到大排序后，依次加入到当前调度方案中，得到的最短完成时间。在这个例子中，排序后的作业顺序为 3-1-2，对应的最短完成时间为 8。

接下来，我们按照上述算法，依次生成根节点的子节点。首先，我们将作业 1 加入到第一台机器上，得到一个新的部分解。然后，我们计算该部分解的上界值，即将剩余的作业按照加工时间从小到大排序后，依次加入到当前调度方案中，得到的最短完成时间。在这个例子中，排序后的作业顺序为 2-3，对应的最短完成时间为 9。

接着，我们将作业 2 加入到第一台机器上，得到另一个新的部分解。同样地，我们计算该部分解的上界值，即将剩余的作业按照加工时间从小到大排序后，依次加入到当前调度方案中，得到的最短完成时间。在这个例子中，排序后的作业顺序为 3，对应的最短完成时间为 10。

最后，我们将作业 3 加入到第一台机器上，得到最后一个新的部分解。同样地，我们计算该部分解的上界值，即将剩余的作业按照加工时间从小到大排序后，依次加入到当前调度方案中，得到的最短完成时间。在这个例子中，排序后的作业顺序为 2，对应的最短完成时间为 11。

通过比较上述所有部分解的上界值和当前找到的最优解，可以确定下一步搜索的方向。在这个例子中，最短完成时间为 8，是由根节点得到的，因此我们只需要搜索根节点的子节点，即将作业 1 加入到第一台机器上的部分解和将作业 2 加入到第一台机器上的部分解。

通过不断重复上述过程，直到搜索完所有可能的调度方案，就可以得到最优解。

c语言用分支限界法求解批处理作业调度问题

批处理作业调度问题是指在一台计算机上，有若干个作业需要完成，同时计算机有多个处理器可供使用。每个作业需要一定的处理时间，并且只能在某些特定的处理器上运行。如何安排作业的运行顺序和分配处理器，使得所有作业的完成时间最短，是批处理作业调度问题的核心。

分支限界法是一种常用的求解批处理作业调度问题的算法。具体步骤如下：

1. 定义状态空间。作业调度问题的状态可以表示为一个三元组 (j, Tj, Pj)，其中 j 表示当前正在处理的作业，Tj 表示已经处理完成的作业集合，Pj 表示尚未处理的作业集合。

2. 定义扩展规则。对于一个当前状态 (j, Tj, Pj)，可以扩展出若干个子状态。具体地，枚举尚未处理的作业集合 Pj 中的作业 i，将其加入到已经处理的作业集合 Tj 中，并计算当前正在处理的作业 j 和作业 i 的完成时间。然后将状态 (i, Tj ∪ {i}, Pj - {i}) 加入到状态空间中。

3. 定义优先队列。分支限界法需要维护一个优先队列，按照每个状态的完成时间从小到大排序。这样，每次从队首取出的状态，就是当前最优的状态。

4. 迭代搜索。不断从优先队列中取出队首状态，扩展出新的子状态，并将其加入到优先队列中。直到找到一个可行解或者优先队列为空为止。

5. 输出最优解。如果找到了可行解，输出最优解。否则，输出无解。

在具体实现时，可以使用 C 语言的优先队列数据结构和 STL 库中的 set、vector 等容器进行实现。