利用MATLAB求曲面每一点处的曲率半径

要求曲面每一点处的曲率半径，需要先求出该点处的法向量和曲率张量。然后利用曲率张量求出主曲率和主曲率方向，进而求出曲率半径。下面给出MATLAB代码实现：

假设曲面函数为$z=f(x,y)$，则曲面上任意一点处的法向量为：

syms x y z
f = x^2 + y^2 + z^2;
grad_f = gradient(f, [x, y, z]);
n = simplify(grad_f / norm(grad_f));

其中，$grad\_f$为$f$的梯度向量，$n$为法向量。

接下来求出曲率张量$K$：

syms u v
r = [x, y, z];
ru = [1, 0, diff(f, x)];
rv = [0, 1, diff(f, y)];
E = simplify(dot(ru, ru));
F = simplify(dot(ru, rv));
G = simplify(dot(rv, rv));
n_u = simplify(cross(rv, n) / norm(cross(rv, n)));
n_v = simplify(cross(n, ru) / norm(cross(n, ru)));
L = simplify(dot(n_u, diff(ru, x)));
M = simplify(dot(n_u, diff(rv, y)));
N = simplify(dot(n_v, diff(rv, y)));
K = simplify((L*N - M^2) / (E*G - F^2));

其中，$r=[x,y,z]$为参数方程，$u$和$v$为参数，$ru$和$rv$为$r$对$u$和$v$的偏导数向量，$E,F,G$为第一基本形式系数，$n_u$和$n_v$为法向量对$u$和$v$的偏导数向量，$L,M,N$为第二基本形式系数，$K$为曲率张量。

接下来求出主曲率和主曲率方向：

H = simplify((E*N + G*L - 2*F*M) / (2*(E*G - F^2)));
K1 = simplify(H + sqrt(H^2 - K));
K2 = simplify(H - sqrt(H^2 - K));
v1 = simplify(cross(n_u, n_v) / norm(cross(n_u, n_v)));
v2 = simplify(cross(n, v1) / norm(cross(n, v1)));

其中，$H$为平均曲率，$K1$和$K2$为主曲率，$v1$和$v2$为主曲率方向。

最后求出曲率半径：

R1 = simplify(1 / K1);
R2 = simplify(1 / K2);

其中，$R1$和$R2$分别为主曲率所对应的曲率半径。