求函数 f ( x , y , z ) = x 2 + y 2 + z 2 在矩形柱体 0 ≤ x ≤ 4 , 0 ≤ y ≤ 4 , 0 ≤ z ≤ 5 上的平均值。

该函数在矩形柱体内的三重积分为：

∫0^5 ∫0^4 ∫0^4 (x^2 + y^2 + z^2) dxdydz

对其中的每一个变量进行积分，得到：

∫0^5 (64/3 + 16z^2) dz
= 64/3 * 5 + (16/3) * (5^3)
= 320/3

因此，该函数在矩形柱体内的平均值为：

(1/5*4*4) * (320/3) = 256/15

因此，函数 f(x,y,z) = x^2 + y^2 + z^2 在矩形柱体 0 ≤ x ≤ 4, 0 ≤ y ≤ 4, 0 ≤ z ≤ 5 上的平均值为 256/15。