求函数 f ( x , y , z ) = x 2 + y 2 + z 2 在矩形柱体 0 ≤ x ≤ 4 , 0 ≤ y ≤ 4 , 0 ≤ z ≤ 5 上的平均值。
时间: 2024-03-31 12:35:01 浏览: 19
该函数在矩形柱体内的三重积分为:
∫0^5 ∫0^4 ∫0^4 (x^2 + y^2 + z^2) dxdydz
对其中的每一个变量进行积分,得到:
∫0^5 (64/3 + 16z^2) dz
= 64/3 * 5 + (16/3) * (5^3)
= 320/3
因此,该函数在矩形柱体内的平均值为:
(1/5*4*4) * (320/3) = 256/15
因此,函数 f(x,y,z) = x^2 + y^2 + z^2 在矩形柱体 0 ≤ x ≤ 4, 0 ≤ y ≤ 4, 0 ≤ z ≤ 5 上的平均值为 256/15。
相关问题
求函数 f ( x , y , z ) = x 2 + y 2 + z 2 在矩形柱体 0 ≤ x ≤ 5 , 0 ≤ y ≤ 2 , 0 ≤ z ≤ 1 上的平均值。
首先,我们需要计算该函数在给定矩形柱体上的积分。由于该矩形柱体是一个直方体,因此可以将积分分解为三个方向上的积分:
∫∫∫f(x,y,z)dxdydz = ∫0^1∫0^2∫0^5(x^2+y^2+z^2)dxdydz
按照积分的线性性质,可以将式子拆分为三个积分的和:
∫0^1∫0^2∫0^5x^2dxdydz + ∫0^1∫0^2∫0^5y^2dxdydz + ∫0^1∫0^2∫0^5z^2dxdydz
对于每一个积分,我们可以使用基本的积分公式进行计算:
∫0^1∫0^2∫0^5x^2dxdydz = (1/3) * 2 * 5^3 = 83.33
∫0^1∫0^2∫0^5y^2dxdydz = 2 * (1/3) * 5^3 = 83.33
∫0^1∫0^2∫0^5z^2dxdydz = 1 * 2 * (1/3) * 5^3 = 41.67
因此,该函数在矩形柱体上的积分为 208.33。该矩形柱体的体积为 10,因此该函数在矩形柱体上的平均值为 20.833。
求z^x-y^z+2x=0的偏导数
根据链式法则,对于函数f(x,y,z) = z^x - y^z,有:
∂f/∂x = z^x * ln(z)
∂f/∂y = -z^y * ln(y)
∂f/∂z = x*z^(x-1) - y^z * ln(z)
对于2x=0,即x=0,代入偏导数公式中可得:
∂f/∂x = z^0 * ln(z) = ln(z)
∂f/∂y = -z^y * ln(y)
∂f/∂z = 0 - y^z * ln(z) = -y^z * ln(z)
因此,2x=0时的偏导数为:
∂f/∂x = ln(z)
∂f/∂y = -z^y * ln(y)
∂f/∂z = -y^z * ln(z)
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