复随机过程的协方差函数

复随机过程是一种包含实部和虚部的随机过程，其每个样本路径都是复数形式的。协方差函数，对于复随机过程来说，也被称为复共轭对称矩阵或Hermitian positive semi-definite (PSD) 矩阵。它描述了随机过程中任意两个不同时间点的复变量之间的统计依赖关系。

对于复随机过程 \( Z(t) = X(t) + iY(t) \)，其中 \( X(t) \) 和 \( Y(t) \) 分别是实随机过程，它的协方差函数 \( C_Z(s, t) \) 定义为：

\[ C_Z(s, t) = E[(Z(s) - E[Z(s)]) \cdot (\overline{Z(t)} - E[\overline{Z(t)}])] \]

这里，\( E[\cdot] \) 表示期望值，\( \overline{Z(t)} \) 是 \( Z(t) \) 的共轭复数。这个函数满足以下特性：
1. 对称性：\( C_Z(s, t) = \overline{C_Z(t, s)} \)
2. Hermitian正定性：对于所有的复向量 \( w = a + ib \)，有 \( w^* C_Z(s, t) w \geq 0 \)，其中 \( w^* \) 是 \( w \) 的共轭转置。

复随机过程的协方差函数不仅反映了其自相关性，还包含了随机过程的频率特性信息，这对于信号处理和通信系统等领域有着重要的应用。