举例线性方程组的零空间

### 回答1：
好的，线性方程组的零空间是指所有解向量构成的向量空间。举例如下：

考虑线性方程组

2x + 4y - 6z = 0

x + 2y - 3z = 0

它的系数矩阵为

[2 4 -6]

[1 2 -3]

对应的增广矩阵为

[2 4 -6 0]

[1 2 -3 0]

对该矩阵进行行变换，得到行阶梯形矩阵

[1 2 -3 0]

[0 0 0 0]

可以看出，该线性方程组的解向量集合为

{(x, y, z) | x = -2y + 3z}

也即零空间为

{(-2t, t, s) | t, s ∈ R}

这是一个三维向量空间，其中的向量可以表示为常数倍的基向量 (-2, 1, 0) 和 (0, 0, 1) 的线性组合。

### 回答2：
零空间是指线性方程组的解空间中所有满足方程组中所有方程都为0的向量组成的集合。换句话说，零空间是所有能够使线性方程组变为零向量的解的集合。

举个例子来说明零空间。考虑如下的线性方程组：
x + y + z = 0
2x - y + 2z = 0

我们可以将这个方程组写成增广矩阵的形式：
[1 1 1 | 0]
[2 -1 2 | 0]

然后进行行变换，得到简化行阶梯形矩阵：
[1 1 1 | 0]
[0 -3 0 | 0]

从简化行阶梯形矩阵中，我们可以看出z是自由变量，而x和y都可以表示为z的函数。因此，任意满足z = t（其中t为实数）的三元组(x, y, z)都是此线性方程组的解。

换句话说，零空间就是由所有满足x + y + z = 0和2x - y + 2z = 0的向量(x, y, z)组成的集合。具体可表示为：
{(t, -3t, t) | t为实数}

所以，这个线性方程组的零空间是一个由无穷多个向量组成的集合，这些向量满足x + y + z = 0和2x - y + 2z = 0。

### 回答3：
线性方程组的零空间是指其所有解的集合。我们以一个简单的二元线性方程组为例来说明零空间。

考虑方程组：
2x + 3y = 0
4x + 6y = 0

为了求得该方程组的零空间，我们可以首先将其转化为增广矩阵的形式：
[2 3 0]
[4 6 0]

然后对增广矩阵进行初等行变换，将其化为行最简形：
[2 3 0]
[0 0 0]

行最简形对应的线性系统是：
2x + 3y = 0
0 = 0

显然，右侧的0=0是一个恒等式，不对x和y的取值施加任何限制。但我们可以看出，x和y的系数都为0，这表示x和y可以取任意值。因此，该线性方程组的零空间可以表示为一个参数向量[x, y]，其中x和y可以取任意实数值。

综上所述，这个线性方程组的零空间是一个无穷大的集合，其中的向量[x, y]满足2x + 3y = 0。