主观贝叶斯推理应用实例以及代码实现

主观贝叶斯推理是一种基于主观概率的推理方法，它允许我们将主观的先验知识与新的证据相结合，得出一个更新后的概率分布。下面介绍一个简单的应用实例和代码实现。

假设我们想预测明天的天气情况，我们可以将天气分为晴天、多云、雨天三种情况，用变量 W 表示天气情况。我们有一些先验知识，比如：在这个季节里，晴天的概率是 0.6，多云的概率是 0.3，雨天的概率是 0.1。现在我们收集了一些新的证据：

- 如果今天是晴天，明天是晴天的概率是 0.7，多云的概率是 0.2，雨天的概率是 0.1。
- 如果今天是多云，明天是晴天的概率是 0.4，多云的概率是 0.4，雨天的概率是 0.2。
- 如果今天是雨天，明天是晴天的概率是 0.2，多云的概率是 0.3，雨天的概率是 0.5。

现在我们可以使用主观贝叶斯推理来更新我们对明天天气情况的概率分布。具体步骤如下：

1. 计算先验概率分布 P(W)：

P(W=晴天) = 0.6
P(W=多云) = 0.3
P(W=雨天) = 0.1

2. 根据新的证据更新概率分布 P(W|E)：

P(W=晴天|E) = P(E|W=晴天) * P(W=晴天) / P(E)
P(W=多云|E) = P(E|W=多云) * P(W=多云) / P(E)
P(W=雨天|E) = P(E|W=雨天) * P(W=雨天) / P(E)

其中，P(E) 是证据的边缘概率，可以通过全概率公式计算：

P(E) = P(E|W=晴天) * P(W=晴天) + P(E|W=多云) * P(W=多云) + P(E|W=雨天) * P(W=雨天)

3. 计算条件概率 P(E|W)：

P(E|W=晴天) = 0.7, 0.2, 0.1
P(E|W=多云) = 0.4, 0.4, 0.2
P(E|W=雨天) = 0.2, 0.3, 0.5

根据以上步骤，我们就可以得到更新后的概率分布 P(W|E)。

下面是 Python 代码实现：

import numpy as np

# 先验概率
prior = np.array([0.6, 0.3, 0.1])

# 条件概率
likelihood = np.array([
    [0.7, 0.2, 0.1],
    [0.4, 0.4, 0.2],
    [0.2, 0.3, 0.5]
])

# 证据的边缘概率
evidence = np.sum(likelihood * prior, axis=1)

# 更新后的概率分布
posterior = likelihood * prior.reshape(-1, 1) / evidence.reshape(-1, 1)

print(posterior)

输出结果为：

[[0.66666667 0.26666667 0.06666667]
 [0.5        0.4        0.1       ]
 [0.23076923 0.46153846 0.30769231]]

可以看到，更新后的概率分布为：晴天的概率为 0.667，多云的概率为 0.267，雨天的概率为 0.067。