用python实现分段线性插值，并举一个案例

分段线性插值（Piecewise Linear Interpolation）是指将一条曲线分成若干个线性段，每个线性段内进行线性插值，从而得到一条连续的曲线。在 Python 中，可以使用 SciPy 库中的 interpolate 模块实现分段线性插值。下面是一个案例，演示如何使用 Python 实现分段线性插值。

假设有如下数据：

import numpy as np

x = np.array([0, 1, 2, 3, 4, 5])
y = np.array([0, 2, 3, 1, 4, 6])

这是一个简单的时间序列数据，x 为时间点，y 为对应的数值。现在需要对这个数据进行分段线性插值。

以下是具体的操作步骤：

1. 导入相关库

from scipy import interpolate
import matplotlib.pyplot as plt

2. 定义分段线性插值函数

def piecewise_linear_interpolation(x, y, x_new):
    # 定义插值函数
    f = interpolate.interp1d(x, y, kind="linear")

    # 构造分段线性插值后的时间序列
    y_new = np.piecewise(x_new,
                          [x_new < x[0], x_new > x[-1]],
                          [f(x[0]), f(x[-1]), f])
    return y_new

这个函数中，首先定义了一个线性插值函数 f，然后使用 numpy 中的 piecewise() 函数对新时间序列进行分段线性插值。具体地，piecewise() 函数的第一个参数为条件，第二个参数为对应条件下的返回值，第三个参数为默认的函数。在这个例子中，条件为新时间序列小于 x[0] 或大于 x[-1]，对应的返回值为 f(x[0]) 或 f(x[-1])，即使用最靠近的一个时间点的数值进行插值。如果条件不满足，则使用 f 进行插值。

3. 进行分段线性插值并绘制图像

# 构造新的时间序列
x_new = np.linspace(0, 5, 50)

# 进行分段线性插值
y_new = piecewise_linear_interpolation(x, y, x_new)

# 绘制原始数据和插值后的数据
plt.plot(x, y, "o", label="data")
plt.plot(x_new, y_new, label="piecewise linear")
plt.legend()
plt.show()

这段代码中，首先构造了一个新的时间序列 x_new，然后调用上面定义的分段线性插值函数对新时间序列进行插值，并将结果绘制出来。运行结果如下图所示：


从图中可以看出，分段线性插值的结果比简单的线性插值更加接近原始数据。