给出一个考虑制造商、零售商和消费者的包含由制造商决定的制造数量和零售商决定的零售数量两种决策变量的关于供应链的变分不等式问题，其中供应商销售货物给零售商而零售商销售货物给消费者，并对该变分不等式问题给出详细解释，给出变分不等式公式

该问题是一个典型的供应链问题，涉及到制造商、零售商和消费者之间的供应和销售决策。其中制造商的决策变量为制造数量，零售商的决策变量为零售数量。这两个决策变量直接影响到整个供应链的效益和利润。该问题可以用变分不等式来描述。

假设制造商的成本为 $c$，零售商的售价为 $p$，消费者的需求为 $d$。制造商的目标是最小化成本，零售商和消费者的目标是最大化利润。

制造商的变分不等式：

$$\delta M = \frac{\partial F}{\partial q} \delta q - \frac{\partial G}{\partial q} \delta q \geq 0$$

其中 $q$ 表示制造数量，$F(q)$ 表示制造商的成本，$G(q)$ 表示制造商的收入，即

$$F(q) = cq$$

$$G(q) = pq$$

零售商的变分不等式：

$$\delta R = \frac{\partial H}{\partial r} \delta r - \frac{\partial J}{\partial r} \delta r \geq 0$$

其中 $r$ 表示零售数量，$H(r)$ 表示零售商的收入，$J(r)$ 表示零售商的成本，即

$$H(r) = pr$$

$$J(r) = cr$$

消费者的需求为 $d$，则消费者的总支出为 $pd$，零售商的总收入为 $pr$，所以零售商的销售量不能超过消费者的需求量，即

$$r \leq d$$

这个不等式可以用拉格朗日乘数法来处理：

$$\delta L = \delta R - \lambda \delta(r-d) \geq 0$$

其中 $\lambda$ 是拉格朗日乘数。对 $\delta r$ 和 $\delta \lambda$ 分别求偏导，得到

$$\frac{\partial L}{\partial r} = \frac{\partial H}{\partial r} - \frac{\partial J}{\partial r} - \lambda = 0$$

$$\frac{\partial L}{\partial \lambda} = r - d = 0$$

解这个方程组，可以得到

$$\frac{\partial H}{\partial r} - \frac{\partial J}{\partial r} = \lambda$$

这个等式表明，零售商的收入减去成本等于拉格朗日乘数，即零售商的利润最大化。此外，由于 $r \leq d$，所以零售商的销售量不能超过消费者的需求量。

综合以上三个变分不等式，可以得到整个供应链的优化问题：