用c++写Karatsuba乘法，要求代码后要带有注释

以下是使用C++编写的Karatsuba乘法算法，附有注释说明：

#include <iostream>
#include <vector>

using namespace std;

// 定义 Karatsuba 乘法函数
vector<int> karatsuba(vector<int>& num1, vector<int>& num2) {
    int n = num1.size();
    vector<int> result(n * 2);

    // 递归基础情况
    if (n == 1) {
        int mul = num1[0] * num2[0];
        result[0] = mul % 10;
        result[1] = mul / 10;
        return result;
    }

    int halfSize = n / 2;

    // 分裂 num1 和 num2
    vector<int> num1L(num1.begin(), num1.begin() + halfSize);
    vector<int> num1H(num1.begin() + halfSize, num1.end());
    vector<int> num2L(num2.begin(), num2.begin() + halfSize);
    vector<int> num2H(num2.begin() + halfSize, num2.end());

    // 计算 a, b, c 和 d
    vector<int> a = karatsuba(num1H, num2H);
    vector<int> b = karatsuba(num1L, num2L);
    vector<int> c = karatsuba(num1L + num1H, num2L + num2H);
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        c[i] -= a[i] + b[i];
    }

    // 合并结果
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        result[i + halfSize] += c[i];
        result[i] += b[i];
        result[i + n] += a[i];
    }

    // 处理进位
    for (int i = 0; i < n * 2 - 1; i++) {
        result[i + 1] += result[i] / 10;
        result[i] %= 10;
    }

    return result;
}

int main() {
    // 定义两个需要相乘的数
    vector<int> num1 = { 1, 2, 3, 4 };
    vector<int> num2 = { 5, 6, 7, 8 };

    // 调用 karatsuba 函数进行相乘
    vector<int> result = karatsuba(num1, num2);

    // 输出结果
    for (int i = result.size() - 1; i >= 0; i--) {
        cout << result[i];
    }
    cout << endl;

    return 0;
}

注释说明：

1. `vector<int> karatsuba(vector<int>& num1, vector<int>& num2)`：定义 Karatsuba 乘法函数，参数为需要相乘的两个数的向量形式。
2. `int n = num1.size();`：获取需要相乘的两个数的长度。
3. `vector<int> result(n * 2);`：定义结果向量，长度为需要相乘的两个数的长度的两倍。
4. `if (n == 1) {...}`：递归基础情况，当需要相乘的两个数长度为 1 时，直接返回结果。
5. `int halfSize = n / 2;`：计算需要相乘的两个数长度的一半。
6. `vector<int> num1L(num1.begin(), num1.begin() + halfSize);`：将 num1 分裂为左半部分 num1L。
7. `vector<int> num1H(num1.begin() + halfSize, num1.end());`：将 num1 分裂为右半部分 num1H。
8. `vector<int> num2L(num2.begin(), num2.begin() + halfSize);`：将 num2 分裂为左半部分 num2L。
9. `vector<int> num2H(num2.begin() + halfSize, num2.end());`：将 num2 分裂为右半部分 num2H。
10. `vector<int> a = karatsuba(num1H, num2H);`：递归计算 a。
11. `vector<int> b = karatsuba(num1L, num2L);`：递归计算 b。
12. `vector<int> c = karatsuba(num1L + num1H, num2L + num2H);`：递归计算 c。
13. `for (int i = 0; i < n; i++) {c[i] -= a[i] + b[i];}`：计算 c。
14. `for (int i = 0; i < n; i++) {result[i + halfSize] += c[i]; result[i] += b[i]; result[i + n] += a[i];}`：合并结果。
15. `for (int i = 0; i < n * 2 - 1; i++) {result[i + 1] += result[i] / 10; result[i] %= 10;}`：处理进位。
16. `vector<int> result = karatsuba(num1, num2);`：调用 karatsuba 函数进行相乘。
17. `for (int i = result.size() - 1; i >= 0; i--) {cout << result[i];}`：输出结果。