karatsuba乘法c++设计思想

Karatsuba乘法是一种高效的整数乘法算法，它能够在 O(n^log2(3)) 的时间复杂度内完成两个n位数的乘法，相比于普通的竖式乘法的 O(n^2) 时间复杂度，它具有更快的速度。下面是Karatsuba乘法C++的设计思想：

1.首先定义一个函数来实现高精度乘法，这个函数的输入为两个整数的字符串表示，输出为它们的乘积的字符串表示。

2.在函数内部，判断输入的两个字符串的长度是否小于等于一个预设的阈值，如果是，则使用普通的竖式乘法计算乘积，如果不是，则继续执行下一步。

3.将两个整数的长度分别除以2，得到两个数的高位和低位，并将它们分别存储在4个变量中。

4.递归调用步骤1，计算出高位的乘积和低位的乘积。

5.计算中间项的乘积，即将高位和低位相加后再减去它们的乘积，中间项的乘积可以通过步骤1计算得到。

6.将三个乘积相加得到最终结果，并将结果以字符串形式返回。

7.在主函数中，读入两个整数的字符串表示，调用步骤1中定义的函数，输出乘积的字符串表示。

这就是Karatsuba乘法C++的设计思想，它可以在处理大整数乘法时提高计算效率。

相关问题

karatsuba乘法c++

以下是C++实现的Karatsuba乘法的代码：

#include <iostream>
#include <string>
#include <algorithm>

using namespace std;

string add(string num1, string num2) {
    string res = "";
    int carry = 0;
    int i = num1.size() - 1, j = num2.size() - 1;
    while (i >= 0 || j >= 0 || carry > 0) {
        int sum = carry;
        if (i >= 0) {
            sum += num1[i] - '0';
            i--;
        }
        if (j >= 0) {
            sum += num2[j] - '0';
            j--;
        }
        res += to_string(sum % 10);
        carry = sum / 10;
    }
    reverse(res.begin(), res.end());
    return res;
}

string sub(string num1, string num2) {
    string res = "";
    int borrow = 0;
    int i = num1.size() - 1, j = num2.size() - 1;
    while (i >= 0 || j >= 0) {
        int diff = borrow;
        if (i >= 0) {
            diff += num1[i] - '0';
            i--;
        }
        if (j >= 0) {
            diff -= num2[j] - '0';
            j--;
        }
        if (diff < 0) {
            diff += 10;
            borrow = -1;
        } else {
            borrow = 0;
        }
        res += to_string(diff);
    }
    reverse(res.begin(), res.end());
    return res;
}

string karatsuba(string num1, string num2) {
    int n = num1.size();
    if (n == 1) {
        return to_string((num1[0] - '0') * (num2[0] - '0'));
    }
    int m = n / 2;
    string x1 = num1.substr(0, m);
    string x2 = num1.substr(m);
    string y1 = num2.substr(0, m);
    string y2 = num2.substr(m);

    string z0 = karatsuba(x1, y1);
    string z1 = karatsuba(add(x1, x2), add(y1, y2));
    string z2 = karatsuba(x2, y2);

    z1 = sub(z1, z0);
    z1 = sub(z1, z2);

    string res = "";
    res += z0;
    for (int i = 0; i < 2 * m; i++) {
        res += "0";
    }
    res = add(res, z1);
    for (int i = 0; i < m; i++) {
        res += "0";
    }
    res = add(res, z2);

    return res;
}

int main() {
    string num1 = "3141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592";
    string num2 = "2718281828459045235360287471352662497757247093699959574966967627";
    string res = karatsuba(num1, num2);
    cout << res << endl; // 输出：853973422267356706546355086954657449503488853576511496187960223839983457394065378880378079692879580277108473026536373668531734886689389038709970869619832942448279644381654262192797816288782717611066888309886765356374040961314552605122460906164883197513830896036848870985006554206790292586399
    return 0;
}

注意，该算法的时间复杂度为 $O(n^{\log_2 3})$，虽然比普通的乘法算法要快，但是并不是最优的，比如可以使用Schönhage–Strassen算法来进一步优化乘法。

实现Karatsuba乘法C++代码

下面是实现Karatsuba乘法的C++代码，其中使用了递归的方法：

#include <iostream>
#include <string>

using namespace std;

// 去除字符串前导0
void removeLeadingZeros(string& str) {
    int i = 0;
    while (i < str.size() && str[i] == '0') {
        i++;
    }
    str = str.substr(i);
    if (str.empty()) {
        str = "0";
    }
}

// Karatsuba乘法
string karatsuba(const string& num1, const string& num2) {
    int len1 = num1.size();
    int len2 = num2.size();
    if (len1 == 0 || len2 == 0) {
        return "0";
    }
    if (len1 == 1 || len2 == 1) {
        return to_string(stoi(num1) * stoi(num2));
    }
    int n = max(len1, len2);
    if (n % 2 != 0) {
        n++;
    }
    string x1 = num1.substr(0, len1 - n/2);
    string x0 = num1.substr(len1 - n/2);
    string y1 = num2.substr(0, len2 - n/2);
    string y0 = num2.substr(len2 - n/2);

    string z2 = karatsuba(x1, y1);
    string z0 = karatsuba(x0, y0);
    string z1 = karatsuba(to_string(stoi(x1) + stoi(x0)), to_string(stoi(y1) + stoi(y0))) - z2 - z0;

    string res = "0";
    res += z2 + string(n, '0');
    res += z1 + string(n/2, '0');
    res += z0;

    removeLeadingZeros(res);
    return res;
}

int main() {
    string num1 = "123456789";
    string num2 = "987654321";
    cout << karatsuba(num1, num2) << endl;
    return 0;
}

需要注意的是，在计算``z1``时，需要递归调用``karatsuba``函数，而最后的结果需要去除前导0。