举个例子

假设我们有两组离散的频域数据，分别为输入信号 $x$ 和输出信号 $y$，我们想要拟合它们之间的传递函数 $H(z)$，并且搜索优化出一组自变量参数 $\theta$，使得目标函数 $J(\theta)$ 达到极小值。

具体步骤如下：

1. 对输入信号 $x$ 和输出信号 $y$ 进行 DFT，得到它们的频域表示 $X(f)$ 和 $Y(f)$。

2. 将 $X(f)$ 和 $Y(f)$ 分别转换为时域数据 $x(n)$ 和 $y(n)$。

3. 使用传统的信号处理方法（如滤波器设计、系统辨识等）来拟合传递函数 $H(z)$，得到 $H(z,\theta)$，其中 $\theta$ 表示传递函数中的自变量参数。

4. 将传递函数 $H(z,\theta)$ 表示为一组自变量参数的函数形式，如 $H(z,\theta) = \frac{\theta_1 z^{-1} + \theta_2}{1 + \theta_3 z^{-1} + \theta_4 z^{-2}}$。

5. 计算拟合误差 $e(n) = y(n) - H(z,\theta)x(n)$，其中 $H(z,\theta)$ 表示传递函数，$x(n)$ 表示输入信号，$y(n)$ 表示输出信号。

6. 将拟合误差的平方和作为目标函数 $J(\theta) = \sum_n e^2(n)$。

7. 使用搜索优化算法（如梯度下降、遗传算法等）来搜索最优的自变量参数 $\theta$，使得目标函数 $J(\theta)$ 达到极小值。

例如，我们可以使用 Python 的 Scipy 库来实现上述步骤，具体代码如下：

import numpy as np
from scipy.fft import fft, ifft
from scipy.optimize import minimize

# 生成输入信号和输出信号
n = 500
t = np.linspace(0, 1, n)
x = np.sin(2 * np.pi * 10 * t) + np.sin(2 * np.pi * 30 * t)
y = 2 * x + np.random.randn(n)

# 进行 DFT，得到输入信号和输出信号的频域表示
X = fft(x)
Y = fft(y)

# 将频域表示转换为时域数据
x = ifft(X)
y = ifft(Y)

# 定义传递函数和目标函数
def transfer_function(z, theta):
    num = theta[0] * (z**(-1)) + theta[1]
    den = 1 + theta[2] * (z**(-1)) + theta[3] * (z**(-2))
    return num / den

def objective_function(theta):
    H = transfer_function(np.exp(2j * np.pi * np.arange(n) / n), theta)
    e = y - H * x
    return np.sum(e**2)

# 使用搜索优化算法，搜索最优的自变量参数
theta0 = np.random.randn(4)
res = minimize(objective_function, theta0, method='CG')
theta = res.x

# 拟合传递函数
z = np.exp(2j * np.pi * np.arange(n) / n)
H = transfer_function(z, theta)

# 画出输入信号和输出信号，以及拟合的传递函数
import matplotlib.pyplot as plt
plt.plot(t, x, label='Input signal')
plt.plot(t, y, label='Output signal')
plt.plot(t, np.real(ifft(H*X)), label='Fitted signal')
plt.legend()
plt.show()

在此示例中，我们生成了一个包含两个正弦波的输入信号，并添加了一些噪声，以模拟实际的测量数据。然后，我们将输入信号和输出信号进行 DFT，并将其转换为时域数据。接下来，我们定义了传递函数和目标函数，并使用搜索优化算法来搜索最优的自变量参数。最后，我们将拟合的传递函数应用于输入信号，得到拟合的输出信号，并将其与实际输出信号进行比较。