期末考试就要来临了，大家都在紧张的复习。作为在考场拼搏了十几载的当代大学生，小明和小华更懂得考前的放松。他们在每天晚上休息之前都要玩一会儿扑克牌以放松神经。 他们打牌的规则是这样的： 总共 n 张牌; 双方轮流抓牌； 每人每次抓牌的个数只能是 2 的幂次，即 1,2,4,8,16 等。 抓完牌，胜负结果也出来了，最后抓完牌的人为胜者； 假设小明和小华都足够聪明，并且每次都是小明先抓牌，请问谁能赢呢？

这是一个经典的博弈论问题，可以用递归和数学归纳法来解决。首先，我们可以列出一张表格来表示每个牌数下，小明的胜负情况：

| 牌数 | 胜负 |
| ---- | ---- |
| 1 | 败 |
| 2 | 胜 |
| 3 | 胜 |
| 4 | 胜 |
| 5 | 败 |
| 6 | 胜 |
| 7 | 胜 |
| 8 | 胜 |
| 9 | 败 |
| 10 | 胜 |
| 11 | 胜 |
| 12 | 胜 |
| 13 | 败 |
| 14 | 胜 |
| 15 | 胜 |
| 16 | 胜 |

通过观察表格，我们可以发现一个规律：当牌数为 2 的幂次方时，小明必胜；否则，小明必败。为了证明这个规律，我们可以用数学归纳法来证明。

假设当牌数为 $1,2,\cdots,2^k$ 时，小明必胜。现在考虑牌数为 $2^{k+1}$ 时，小明的胜负情况。小明可以选择抓 $1,2,\cdots,2^k$ 张牌，留下 $2^{k+1} - 1$ 张牌给小华。由归纳假设可知，当留下 $1,2,\cdots,2^k$ 张牌时，小明必胜。因此，小华只能从 $2^k+1,2^k+2,\cdots,2^{k+1}$ 中选择抓牌，留下 $2^k-1,2^k-2,\cdots,1$ 张牌给小明。由于 $2^k+1$ 到 $2^{k+1}$ 中包含了所有的奇数，而 $2^k-1,2^k-2,\cdots,1$ 包含了所有的偶数，因此小华每次抓牌后，剩下的牌数都是奇数，而小明每次抓牌后，剩下的牌数都是偶数。因此，当牌数为 $2^{k+1}$ 时，小明必胜。

因此，我们证明了当牌数为 $2$ 的幂次方时，小明必胜；否则，小明必败。由于每个正整数都可以表示成 $2$ 的幂次之和，因此这个结论对于任何牌数都成立。