函数$f(x)=x_1^2+2x_2^2+||x||_1$的次梯度是

对于函数$f(x)=x_1^2 2x_2^2 ||x||_1$，其次梯度可以通过以下方式计算：

当$x_1=0$时，次梯度为

$$
\frac{\partial f(x)}{\partial x_1}=
\begin{cases}
-2x_2^2 \leqslant 0 & \text{if } x_1<0 \\
[-2x_2^2, 2x_2^2] & \text{if } x_1=0 \\
2x_2^2 \geqslant 0 & \text{if } x_1>0 \\
\end{cases}
$$

当$x_2=0$时，次梯度为

$$
\frac{\partial f(x)}{\partial x_2}=
\begin{cases}
-4x_1^2 \leqslant 0 & \text{if } x_2<0 \\
[-4x_1^2, 4x_1^2] & \text{if } x_2=0 \\
4x_1^2 \geqslant 0 & \text{if } x_2>0 \\
\end{cases}
$$

当$x\neq 0$且$x_1\neq 0$且$x_2\neq 0$时，次梯度为

$$
\frac{\partial f(x)}{\partial x}=
\begin{bmatrix}
2x_1 2x_2^2 ||x||_1 + x_1^2 2x_2^2 \text{sgn}(x_1) \\
4x_1^2 x_2 ||x||_1 + x_1^2 2x_2 \text{sgn}(x_2) \\
\end{bmatrix}
$$

其中，$\text{sgn}(x)$是符号函数，当$x>0$时，$\text{sgn}(x)=1$；当$x<0$时，$\text{sgn}(x)=-1$；当$x=0$时，$\text{sgn}(x)$未定义。