设计一个程序，使其将由1到n（n为偶数，且n <= 20）的n个正整数分别放置在由n个节点组成的环的各个节点上，其中1必须放在第一个节点上，并使任意两个相邻的节点上的数字之和为质数。

这是一个NP问题，需要使用回溯算法来解决。具体思路是先生成一个由1到n的排列，然后从第二个节点开始，依次判断当前节点和前一个节点上的数字之和是否为质数，如果是，则继续往下一个节点放置数字，否则回溯到上一个节点重新尝试其他数字。直到所有节点都放置了数字且满足条件，输出结果。

相关问题

完美洗牌，解答对m张不同牌进行n次完美洗牌，请问m和n满足什么条件时牌序与初始牌序一致。

完美洗牌及其数学条件
完美洗牌（Perfect Shuffle），也称为远距离洗牌，是一种特殊的扑克牌排列方式。在这种洗法中，一副有 (m) 张卡片的牌被分成两半，每张卡交替放置形成新的顺序[^1]。
对于一张包含偶数张卡片的牌堆来说，假设总共有 (m=2n) 张卡片，则可以通过特定次数的完美洗牌使其回到原始顺序。这个过程涉及到一些有趣的数学性质：
数学背景
如果执行一次外向型完美洗牌 (Out-Shuffle)，则第 (k) 张牌的位置会变为 ((2k)\mod(m+1)[^2]) 。而如果是内向型完美洗牌(In-Shuffle), 则位置变换公式为(((2k)+1)\mod(m)[^3]).
要让经过 (n) 次洗牌后的牌组重新恢复至最初的次序, 需满足如下方程:
[ 2^n \equiv 1 (\text{mod } m-1 ) \quad \text{(for Out-shuffles)} [^4] ]
或者
[ 2^{n} \cdot k \equiv k (\text{mod } m) \quad \text{(for In-shuffles)}, [^5] ]
其中(k)代表任意起始位移量.
这些同余关系表明了周期性的存在——即通过适当数量的重复操作可以达到循环回归的效果。
实现算法
下面给出一段Python程序来计算给定数目卡片下完成一轮完整周期所需的最小步数(仅考虑外部shuffle):
def min_shuffles_to_original_order(num_cards):
if num_cards % 2 !=0 or num_cards<2 :
raise ValueError("Number of cards must be even and greater than one.")

mod_val=num_cards//2
current_power,power_count=1,0

while True:
power_count +=1
current_power=(current_power*2)%mod_val

if current_power==1:
break

return power_count

print(min_shuffles_to_original_order(8)) # Example with eight cards.

此函数利用模运算特性寻找使得上述同余成立的第一个正整数解作为返回值。