python中通过椭圆上的点求椭圆的长短轴，并画出图像

首先，通过给定的椭圆上的点，我们可以利用最小二乘法求出椭圆的参数，包括椭圆中心坐标 $(h, k)$，长轴半径 $a$ 和短轴半径 $b$。假设给定的椭圆上的点分别为 $(x_1, y_1)$, $(x_2, y_2)$, $\dots$, $(x_n, y_n)$，其中 $n$ 为点的个数。则可以设定如下的最小二乘问题：

$$
\min_{h,k,a,b} \sum_{i=1}^{n} \left( \frac{(x_i-h)^2}{a^2} + \frac{(y_i-k)^2}{b^2} - 1 \right)^2
$$

其中 $\frac{(x_i-h)^2}{a^2} + \frac{(y_i-k)^2}{b^2}$ 表示点 $(x_i, y_i)$ 到椭圆上的距离平方与长短半轴的比值之和，应该等于 $1$。

可以通过梯度下降的方法，对上述最小二乘问题进行求解，求得最优解 $(h^\star, k^\star, a^\star, b^\star)$，即可得到椭圆的长轴半径 $a^\star$ 和短轴半径 $b^\star$，并画出相应的椭圆图像。

下面是 Python 代码实现：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.optimize import minimize

# 椭圆方程
def ellipse_eq(x, y, h, k, a, b):
    return ((x - h) / a) ** 2 + ((y - k) / b) ** 2 - 1

# 最小化的目标函数
def objective(params, x, y):
    h, k, a, b = params
    return np.sum(ellipse_eq(x, y, h, k, a, b) ** 2)

# 给定的椭圆上的点
x_data = np.array([1, 2, 3, 4, 5, 6])
y_data = np.array([2, 4, 5, 4, 2, 1])

# 初始解为椭圆中心为 (x_mean, y_mean)，长半轴、短半轴为 x_range, y_range
x_mean, y_mean = np.mean(x_data), np.mean(y_data)
x_range = np.max(x_data) - np.min(x_data)
y_range = np.max(y_data) - np.min(y_data)
params0 = [x_mean, y_mean, x_range, y_range]

# 最小化目标函数，求解长短轴
res = minimize(objective, params0, args=(x_data, y_data))

# 获取长短轴
h, k, a, b = res.x

# 绘制椭圆
t = np.linspace(0, 2 * np.pi, 100)
x = h + a * np.cos(t)
y = k + b * np.sin(t)
plt.scatter(x_data, y_data)
plt.plot(x, y)
plt.axis('equal')
plt.show()

运行上述代码，即可得到椭圆的长轴半径和短轴半径，并画出相应的椭圆图像。