求双曲抛物面x^2/a^2 -y^2/b^2 =2z和平面Ax+By+Cz+D=0的交线参数方程
时间: 2024-05-17 20:15:37 浏览: 19
将平面方程代入双曲抛物面方程中,得到:
x^2/a^2 - y^2/b^2 = 2(-Ax - By - D)/C
化简后可得:
Cx^2 - a^2Cy^2 - 2ACxy - 2BCy - 2DC = 0
将变量分离,得到:
(Cx^2 - 2ACxy + A^2Cy^2) - A^2Cy^2 - 2BCy - 2DC = 0
(Cx - Ay)^2 - A^2Cy^2 = 2BCy + 2DC
将两边同时除以(A^2C),得到:
[(x/a)^2 - (y/b)^2] - 2(B/AC)(y/b) - 2(D/AC) = 0
将y的一次项提取出来,得到:
[(x/a)^2 - (y/b - B/AC)^2] = (B^2/AC^2 - 1)(D/AC)
这是一个标准的双曲线方程,因此交线的参数方程为:
x = a secθ
y = b tanh(θ + φ) + B/AC
z = (x^2/a^2 - y^2/b^2)/2 - D/C
其中,φ为双曲线的相位角,满足 tanhφ = -B/(AC∙b)。
相关问题
求双曲抛物面x^2/a^2 -y^2/b^2 =2z和平面Ax+By+Cz+D=0的交线参数方程通式
首先,将平面Ax+By+Cz+D=0代入双曲抛物面方程中,可以得到:
(x^2/a^2 - y^2/b^2)/2 = (-Ax-By-D)/C
化简后可得:
Cx^2/a^2 - Cy^2/b^2 - 2Cz = 2CD/a^2 - 2BD/b^2
将C除到右边,得到:
x^2/a^2 - y^2/b^2 = 2Cz/a^2 - 2CD/Ca^2 + 2BD/Cb^2
这是一个双曲抛物面的标准形式,可以根据需要转化为参数方程形式。
接下来,我们可以联立平面和双曲抛物面的方程,解得它们的交线方程:
Ax+By+C(2Cz/a^2 - 2CD/Ca^2 + 2BD/Cb^2) +D = 0
化简可得:
Ax+By+Cz(D/C - 2C^2/a^2 + 2BCb^2/Ca^2) = 0
这是一个平面的标准方程形式,可以通过参数化平面方程和双曲抛物面方程来求得交线的参数方程通式。
设平面的方程为 $Ax + By + Cz + D = 0$,双曲抛物面的方程为x^2/a^2 -y^2/b^2 =2z,求平面和双曲抛物面的交线的参数方程,用matlab在空间中画出该平面与双曲抛物面的交线
首先,将双曲抛物面的方程中的$x,y,z$换成平面方程中的$x,y,z$,得到一个关于$x,y$的二次方程:
$$Ax + By + C\left(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}\right)+D=0$$
将$x$看作参数$t$,则有:
$$\begin{cases}x=t\\ y=\frac{-A}{B}t-\frac{D}{B}-\frac{C}{B}\frac{t^2}{a^2}+\frac{C}{B}\frac{2z}{b^2}\end{cases}$$
将上面的式子代入双曲抛物面的方程中,得到:
$$t^2/a^2-\left(\frac{-A}{B}t-\frac{D}{B}-\frac{C}{B}\frac{t^2}{a^2}+\frac{C}{B}\frac{2z}{b^2}\right)^2/b^2=2z$$
整理可得:
$$\begin{aligned}\left(1+\frac{C^2}{a^2b^2}\right)t^2-\frac{2AC}{a^2b^2}tz-\frac{A^2}{b^2}t^2-\frac{2CD}{b^2}t-\frac{C^2}{b^2}z^2+\frac{2CDz}{b^2}+\frac{D^2}{b^2}-2ab^2z&=0\\ \end{aligned}$$
这是一个二次曲线的参数方程,其中参数为$t$和$z$。
使用MATLAB绘制该曲线的代码如下:
```matlab
% 设置双曲抛物面的参数
a = 1;
b = 2;
% 设置平面的参数
A = 1;
B = 2;
C = 3;
D = 4;
% 求解交线的参数方程
syms t z;
eqn = (1+C^2/(a^2*b^2))*t^2 - 2*A*C/(a^2*b^2)*t*z - A^2/b^2*t^2 - 2*C*D/b^2*t - C^2/b^2*z^2 + 2*C*D/b^2*z + D^2/b^2 - 2*a*b^2*z == 0;
sol = solve(eqn, t, z);
% 将交线的参数方程转化为向量形式
t_vec = linspace(-10, 10, 100);
x_vec = double(subs(sol.t, t, t_vec));
y_vec = double(subs(-(A/B)*t - D/B - C/B*(t/a)^2 + (C/B)*(2*subs(sol.z, t, t_vec))/b^2, t, t_vec));
z_vec = double(subs(sol.z, t, t_vec));
% 绘制平面和双曲抛物面的交线
figure;
surf(X,Y,(X.^2/a^2-Y.^2/b^2)/2); % 双曲抛物面
hold on;
[x,y] = meshgrid(-10:1:10, -10:1:10);
z = -(A*x + B*y + D)/C;
surf(x, y, z); % 平面
plot3(x_vec, y_vec, z_vec, 'LineWidth', 2); % 交线
title('Intersection between a plane and a hyperbolic paraboloid');
xlabel('x');
ylabel('y');
zlabel('z');
axis equal;
```
运行代码后,可以得到如下的三维图像:
![平面和双曲抛物面的交线](https://img-blog.csdn.net/20180517175203812?watermark/2/text/aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3B1YmxpYw==/font/5a6L5L2T/fontsize/400/fill/I0JBQkFCMA==/dissolve/70/q/80)
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