求解线性方程组 Ax = b 的极小化算法的比较和分析（最速下降法，CG算法、PCG算法等

线性方程组 Ax=b 的求解是数值线性代数的基础问题之一。在实际应用中，A往往是大型稀疏矩阵，而且可能存在多个右端项b需要解。因此，需要高效的求解算法。

下面分别介绍最速下降法、CG算法和PCG算法，并对它们进行比较和分析。

1. 最速下降法

最速下降法是迭代法的一种，其基本思想是沿着梯度方向下降，使得误差最小化。算法步骤如下：

(1) 初始化 $x_0$

(2) 对于 $k=0,1,2,...,$

​ (a) 计算梯度 $g_k = \nabla f(x_k)$

​ (b) 计算步长 $\alpha_k$，使得 $x_{k+1} = x_k - \alpha_k g_k$

​ (c) 判断停止条件，如果满足则输出 $x_{k+1}$，否则返回 (a)

最速下降法的优点是简单易实现，但其缺点也很明显，收敛速度较慢，特别是当A的条件数较大的时候，收敛的速度会更加缓慢。

2. CG算法

CG算法是一种高效的求解对称正定矩阵的线性方程组的算法。其基本思想是将最速下降法和共轭方向法相结合，每一次迭代都在前一次迭代的共轭方向上进行。算法步骤如下：

(1) 初始化 $x_0$ 和 $r_0 = b - Ax_0$

(2) 对于 $k=0,1,2,...,$

​ (a) 计算 $\beta_k = \frac{(r_k,r_k)}{(r_{k-1},r_{k-1})}$

​ (b) 计算共轭方向 $p_k = r_k + \beta_k p_{k-1}$

​ (c) 计算步长 $\alpha_k = \frac{(r_k,r_k)}{(Ap_k,p_k)}$

​ (d) 计算新的解 $x_{k+1} = x_k + \alpha_k p_k$

​ (e) 计算新的残差 $r_{k+1} = r_k - \alpha_k Ap_k$

​ (f) 判断停止条件，如果满足则输出 $x_{k+1}$，否则返回 (a)

CG算法的优点是收敛速度快，特别是对于大型稀疏矩阵，收敛速度更快。但其缺点也很明显，只适用于对称正定矩阵的线性方程组。

3. PCG算法

PCG算法是CG算法的一个变种，用于求解非对称矩阵的线性方程组。其基本思想是引入一个预处理矩阵M，将原问题转化为求解对称正定矩阵的线性方程组。算法步骤如下：

(1) 初始化 $x_0$ 和 $r_0 = b - Ax_0$

(2) 对于 $k=0,1,2,...,$

​ (a) 计算 $\beta_k = \frac{(r_k,z_k)}{(r_{k-1},z_{k-1})}$

​ (b) 计算共轭方向 $p_k = z_k + \beta_k p_{k-1}$

​ (c) 计算步长 $\alpha_k = \frac{(r_k,z_k)}{(Ap_k,p_k)}$

​ (d) 计算新的解 $x_{k+1} = x_k + \alpha_k p_k$

​ (e) 计算新的残差 $r_{k+1} = r_k - \alpha_k Ap_k$

​ (f) 计算新的预处理残差 $z_{k+1} = M^{-1} r_{k+1}$

​ (g) 判断停止条件，如果满足则输出 $x_{k+1}$，否则返回 (a)

PCG算法的优点是对于非对称矩阵的线性方程组，其收敛速度比最速下降法快，但比CG算法慢。缺点是预处理矩阵的选择对算法的效果有很大影响。

综上所述，最速下降法的实现简单，但收敛速度较慢；CG算法的收敛速度快，但只适用于对称正定矩阵的线性方程组；PCG算法可以求解非对称矩阵的线性方程组，但需要选择合适的预处理矩阵。因此，在实际应用中，需要根据具体情况选择合适的算法。