详细地给出求解线性方程组 Ax = b 的极小化算法原理（最速下降法，CG算法、PCG算法等）

1. 最速下降法：
最速下降法是一种基本的迭代算法，它的主要思想是在每一次迭代中，选择一个下降方向使得某个目标函数值最小化。在求解线性方程组 Ax=b 时，目标函数可以定义为 f(x) = 1/2 * x^T * A * x - x^T * b，即最小化二次函数的误差。通过求解梯度方程 Ax = -r，其中 r 是残差向量，可以得到下降方向 p = r。接下来，可以通过对 x 进行更新来逐步逼近最优解，即 x = x + alpha * p，其中 alpha 是步长参数，可以通过线搜索得到。

2. 共轭梯度法（CG算法）：
共轭梯度法是一种高效的迭代算法，它利用了矩阵 A 的对称性质和共轭方向的概念，可以快速收敛到精确解。在每一次迭代中，选择一个共轭方向 p_k，使得在该方向上的残差最小化，即 r_k = b - A * x_k，p_k = r_k + beta_k * p_{k-1}，其中 beta_k 是共轭系数，可以通过 Gram-Schmidt 正交化得到。然后，通过对 x 进行更新来逐步逼近最优解，即 x_{k+1} = x_k + alpha_k * p_k，其中 alpha_k 是步长参数，可以通过线搜索得到。

3. 预处理共轭梯度法（PCG算法）：
预处理共轭梯度法是一种改进的共轭梯度法，它利用了预处理矩阵 M 来加速收敛速度。在每一次迭代中，选择一个共轭方向 p_k，使得在该方向上的残差最小化，即 r_k = b - A * x_k，z_k = M^{-1} * r_k，p_k = z_k + beta_k * p_{k-1}，其中 z_k 是预处理后的残差向量。然后，通过对 x 进行更新来逐步逼近最优解，即 x_{k+1} = x_k + alpha_k * p_k，其中 alpha_k 是步长参数，可以通过线搜索得到。