伽马分布的极大似然估计

伽马分布是一种常见的概率分布，它通常用来建模连续的正值随机变量。伽马分布具有两个参数：形状参数（shape parameter）和尺度参数（scale parameter），分别记作 α 和 β 。

假设我们有一个大小为 n 的样本 {x1, x2, ..., xn} ，这些样本是独立同分布的伽马分布随机变量。我们的目标是估计伽马分布的参数 α 和 β ，这可以通过求解伽马分布的极大似然估计来实现。

伽马分布的概率密度函数为：

f(x) = (1/Γ(α)β^α) * x^(α-1) * e^(-x/β)

其中 Γ(α) 是 Gamma 函数，定义为：

Γ(α) = ∫[0,∞] t^(α-1) * e^(-t) dt

伽马分布的似然函数为：

L(α, β) = ∏[i=1,n] f(xi) = (1/Γ(α)^n * β^(nα)) * ∏[i=1,n] x_i^(α-1) * e^(-∑[i=1,n] xi/β)

我们的目标是找到最大化似然函数 L(α, β) 的参数 α 和 β 。因为对数函数是单调递增的，我们可以取对数转换似然函数：

log L(α, β) = n * log(α) - n * log(Γ(α)) + nα * log(β) + (α-1) * ∑[i=1,n] log(xi) - (∑[i=1,n] xi) / β

现在我们可以使用数值优化算法（如梯度下降等）来最大化对数似然函数，以获得伽马分布的极大似然估计。