求解矩阵博弈——田忌赛马问题并编写Matlab程序

田忌赛马问题可以用矩阵博弈的方式来求解。假设田忌和齐王各有n匹马，马的速度不一样，田忌和齐王都知道各自马的速度，但不知道对方马的速度。现在要进行一场比赛，规则是田忌和齐王每次各选出一匹马进行比赛，速度快的获胜。每场比赛赢一分，平局不得分，输了不得分。比赛进行n场，求田忌最多能得多少分。

矩阵博弈的思路是构造一个n*n的矩阵，第i行第j列表示田忌用第i匹马与齐王用第j匹马比赛的得分。例如，第一行表示田忌用自己最快的马与齐王用不同的马比赛的得分，第二行表示田忌用自己第二快的马与齐王用不同的马比赛的得分，以此类推。

根据题意，构造比赛得分矩阵的方法如下：

1. 田忌用最快的马与齐王用最慢的马比赛，得分为1；
2. 田忌用第二快的马与齐王用第二慢的马比赛，得分为1；
3. 田忌用最慢的马与齐王用最快的马比赛，得分为0或-1。

注意，第三种情况得分为0或-1，是因为如果田忌用最慢的马与齐王用最快的马比赛，那么田忌必输，得分为-1；如果田忌用最慢的马与齐王用次慢的马比赛，那么田忌可能赢，得分为0或1。

根据上述方法可以构造比赛得分矩阵，然后使用线性规划的方法求解矩阵博弈问题。具体来说，可以将田忌和齐王的得分视为两个向量，将比赛得分矩阵视为一个矩阵，然后使用线性规划求解最大值问题。

以下是Matlab程序实现：

% 田忌赛马问题的矩阵博弈求解
n = 5; % 马匹数量
speeds = randperm(10, n); % 马的速度，随机生成
score_mat = zeros(n, n); % 得分矩阵
for i = 1:n
    for j = 1:n
        if i == j % 同一匹马不能比赛
            continue;
        end
        if speeds(i) > speeds(j) % 田忌胜
            score_mat(i, j) = 1;
        else % 田忌败
            score_mat(i, j) = -1;
        end
    end
end
f = -ones(n, 1); % 目标函数
A = score_mat'; % 约束条件矩阵
b = ones(n, 1); % 约束条件向量
lb = zeros(n, 1); % 变量下界
ub = ones(n, 1); % 变量上界
options = optimset('Display', 'off'); % 不显示求解过程
x = linprog(f, A, b, [], [], lb, ub, options); % 求解线性规划问题
max_score = -sum(x); % 最大得分
disp(['田忌最多能得' num2str(max_score) '分']);

该程序首先随机生成马的速度，然后根据上述方法构造比赛得分矩阵，最后使用Matlab内置函数linprog求解线性规划问题，得到田忌最多能得多少分。