10条指令I0到I9，使用频度为0.3 0.18 0.14 0.11 0.09 0.07 0.02 0.01 求信息熵

根据信息熵的公式：$H=-\sum_{i=1}^{n} p_i \log_2 p_i$，其中 $p_i$ 表示第 $i$ 个事件发生的概率，$n$ 表示事件的总数。

将给定的指令按照概率从大到小排列，得到：

| 指令 | I0 | I1 | I2 | I3 | I4 | I5 | I6 | I7 | I8 | I9 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 概率 | 0.3 | 0.18 | 0.14 | 0.11 | 0.09 | 0.07 | 0.02 | 0.01 | - | - |

由于最后两个事件的概率为 0，因此可以忽略不计。

将上表中的概率代入信息熵公式，得到：

$$
\begin{aligned}
H &= -0.3 \log_2 0.3 - 0.18 \log_2 0.18 - 0.14 \log_2 0.14 \\
&\quad- 0.11 \log_2 0.11 - 0.09 \log_2 0.09 - 0.07 \log_2 0.07 \\
&\quad- 0.02 \log_2 0.02 - 0.01 \log_2 0.01 \\
&\approx 2.604
\end{aligned}
$$

因此，这些指令的信息熵约为 2.604。

相关问题

某模型机有 10 条指令 I0~I9，它们的使用频度分别为：0.28，0.17， 0.14，0.12，0.09，0.08，0.05，0.04，0.02，0.0l 。 （1）计算 10 条指令 I0~I9的信息熵 H。 （2）计算采用等长操作码编码时的平均长度 L1和编码冗余量 R1。 （3）设计该指令集的 Huffman 编码，画出 Huffman 树，并计算所设计 Huffman 编码的平均长度 L2和编码冗余量 R2。

(1) 信息熵的计算公式为：$H = - \sum_{i=0}^{9} p_i \log_2 p_i$，其中 $p_i$ 表示第 $i$ 条指令的使用频率。

代入数据得，$H = -0.28\log_2 0.28 - 0.17\log_2 0.17 - \cdots - 0.01\log_2 0.01 \approx 3.055$。

(2) 采用等长操作码编码时，每条指令编码长度相同，即 $L1 = \log_2 10 \approx 3.322$。

编码冗余量 $R1 = L1 - H \approx 0.267$。

(3) 设计 Huffman 编码的步骤如下：

- 按照使用频率从小到大排序，得到以下表格：

| 指令 | 使用频率 |
| ---- | -------- |
| I9 | 0.01 |
| I8 | 0.02 |
| I7 | 0.04 |
| I6 | 0.05 |
| I5 | 0.08 |
| I4 | 0.09 |
| I3 | 0.12 |
| I2 | 0.14 |
| I1 | 0.17 |
| I0 | 0.28 |

- 将频率最小的两个节点合并，并将它们的频率相加，得到一个新节点。重复此步骤，直到只剩下一个节点为止。合并的过程可以用一棵树来表示，称为 Huffman 树。

首先合并 I9 和 I8，得到一个频率为 0.03 的新节点：


然后合并 I7 和新节点，得到一个频率为 0.07 的新节点：


接着合并 I6 和新节点，得到一个频率为 0.12 的新节点：


再合并 I5 和新节点，得到一个频率为 0.2 的新节点：


接着合并 I4 和新节点，得到一个频率为 0.29 的新节点：


继续合并 I3 和新节点，得到一个频率为 0.41 的新节点：


接着合并 I2 和新节点，得到一个频率为 0.55 的新节点：


再合并 I1 和新节点，得到一个频率为 0.72 的新节点：


最后合并 I0 和新节点，得到一棵完整的 Huffman 树：


- 根据 Huffman 树，对每个节点进行编码。从根节点开始，向左走为编码 0，向右走为编码 1。最终得到以下表格：

| 指令 | 使用频率 | Huffman 编码 |
| ---- | -------- | ------------ |
| I9 | 0.01 | 1111111110 |
| I8 | 0.02 | 1111111111 |
| I7 | 0.04 | 111111100 |
| I6 | 0.05 | 11111100 |
| I5 | 0.08 | 111110 |
| I4 | 0.09 | 11110 |
| I3 | 0.12 | 1110 |
| I2 | 0.14 | 110 |
| I1 | 0.17 | 10 |
| I0 | 0.28 | 0 |

- 计算 Huffman 编码的平均长度 $L2$ 和编码冗余量 $R2$。

平均长度 $L2 = \sum_{i=0}^{9} p_i l_i$，其中 $l_i$ 表示第 $i$ 条指令的 Huffman 编码长度。

代入数据得，$L2 = 0.01 \times 10 + 0.02 \times 10 + \cdots + 0.28 \times 1 \approx 2.65$。

编码冗余量 $R2 = L2 - H \approx -0.405$，说明 Huffman 编码比等长操作码编码更加紧凑。

现有 8 个待编码的符号 m0,……,m7,它们的概率分别为 0.10,0.02,0.28,0.14,0.19,0.05,0.06,0.15,试给出哈夫曼编码与二分法香农 范诺编码过程及码字，求出其信息熵，平均码长和编码效率。matlab

首先，让我们逐步解释哈夫曼编码和二分法香农-范诺编码的过程，并计算所需的信息熵、平均码长和编码效率。

**哈夫曼编码过程：**
1. **构建哈夫曼树**: 对给定的符号按概率从大到小排序，每次选择概率最小的两个节点合并成一个新的节点，新节点的概率为其左右子节点概率之和。重复此过程直到只剩下一个叶子节点，即得到的是一棵完全二叉树。
2. **编码生成**: 根据哈夫曼树，从根开始遍历每个叶节点，遇到左分支加0，右分支加1，形成对应的二进制码字。由于它是动态生成的，所以需要对每个符号分配特定的二进制码。
3. **计算信息熵**: 对于每个符号，信息熵是其概率取以自然对数然后乘以-1。最后所有符号的信息熵相加得到总信息熵。

**二分法香农-范诺编码过程：**
1. 将符号按照概率大小排序。
2. 从最低概率的符号开始，依次将每个符号作为前缀码的基础，添加最小的前缀使其唯一。例如，第一个是最短的"0"，第二个可能是"10"，第三个是"110"等。
3. 生成的每个符号都有一个唯一的前缀码。

**信息熵计算：**
在MATLAB中，你可以使用以下公式来计算信息熵 H(X)：

prob = [0.10, 0.02, 0.28, 0.14, 0.19, 0.05, 0.06, 0.15]; % 符号概率数组
H = -sum(prob .* log2(prob)); % 信息熵计算

**平均码长计算：**
对于哈夫曼编码，我们需要知道所有符号的码长然后求平均值。这通常涉及到查找哈夫曼树的路径长度并求和。在MATLAB中可以手动实现或利用一些库函数。

% 假设已经得到了哈夫曼树，可以用以下代码计算平均码长
avg_code_length = mean(huffman_code_lengths); % huffman_code_lengths是对应符号的码长向量

% 对于二分法香农-范诺编码，直接用前缀码的平均长度即可
avg_van_noy_code_length = mean(prefix_codes);

**编码效率：**
编码效率（也称压缩比）通常是编码后的数据长度除以原始数据长度。在哈夫曼编码中，因为数据被压缩了，所以效率会高于1。而在香农-范诺编码中，虽然不是最优，但通常会有一定的压缩效果。

if iscell(huffman_code_lengths)
    efficiency_Huffman = sum(huffman_code_lengths) / length(prob);
else
    efficiency_Huffman = avg_code_length / sum(prob);
end

efficiency_Van_Noy = avg_van_noy_code_length / sum(prob);

请注意，实际在MATLAB中计算这些值可能需要手动创建哈夫曼树或使用专门的库函数。以上步骤仅提供了基本的概念和公式。