10条指令I0到I9，使用频度为0.3 0.18 0.14 0.11 0.09 0.07 0.02 0.01 求信息熵

根据信息熵的公式：$H=-\sum_{i=1}^{n} p_i \log_2 p_i$，其中 $p_i$ 表示第 $i$ 个事件发生的概率，$n$ 表示事件的总数。

将给定的指令按照概率从大到小排列，得到：

| 指令 | I0 | I1 | I2 | I3 | I4 | I5 | I6 | I7 | I8 | I9 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 概率 | 0.3 | 0.18 | 0.14 | 0.11 | 0.09 | 0.07 | 0.02 | 0.01 | - | - |

由于最后两个事件的概率为 0，因此可以忽略不计。

将上表中的概率代入信息熵公式，得到：

$$
\begin{aligned}
H &= -0.3 \log_2 0.3 - 0.18 \log_2 0.18 - 0.14 \log_2 0.14 \\
&\quad- 0.11 \log_2 0.11 - 0.09 \log_2 0.09 - 0.07 \log_2 0.07 \\
&\quad- 0.02 \log_2 0.02 - 0.01 \log_2 0.01 \\
&\approx 2.604
\end{aligned}
$$

因此，这些指令的信息熵约为 2.604。

相关问题

某模型机有 10 条指令 I0~I9，它们的使用频度分别为：0.28，0.17， 0.14，0.12，0.09，0.08，0.05，0.04，0.02，0.0l 。 （1）计算 10 条指令 I0~I9的信息熵 H。 （2）计算采用等长操作码编码时的平均长度 L1和编码冗余量 R1。 （3）设计该指令集的 Huffman 编码，画出 Huffman 树，并计算所设计 Huffman 编码的平均长度 L2和编码冗余量 R2。

(1) 信息熵的计算公式为：$H = - \sum_{i=0}^{9} p_i \log_2 p_i$，其中 $p_i$ 表示第 $i$ 条指令的使用频率。

代入数据得，$H = -0.28\log_2 0.28 - 0.17\log_2 0.17 - \cdots - 0.01\log_2 0.01 \approx 3.055$。

(2) 采用等长操作码编码时，每条指令编码长度相同，即 $L1 = \log_2 10 \approx 3.322$。

编码冗余量 $R1 = L1 - H \approx 0.267$。

(3) 设计 Huffman 编码的步骤如下：

- 按照使用频率从小到大排序，得到以下表格：

| 指令 | 使用频率 |
| ---- | -------- |
| I9 | 0.01 |
| I8 | 0.02 |
| I7 | 0.04 |
| I6 | 0.05 |
| I5 | 0.08 |
| I4 | 0.09 |
| I3 | 0.12 |
| I2 | 0.14 |
| I1 | 0.17 |
| I0 | 0.28 |

- 将频率最小的两个节点合并，并将它们的频率相加，得到一个新节点。重复此步骤，直到只剩下一个节点为止。合并的过程可以用一棵树来表示，称为 Huffman 树。

首先合并 I9 和 I8，得到一个频率为 0.03 的新节点：


然后合并 I7 和新节点，得到一个频率为 0.07 的新节点：


接着合并 I6 和新节点，得到一个频率为 0.12 的新节点：


再合并 I5 和新节点，得到一个频率为 0.2 的新节点：


接着合并 I4 和新节点，得到一个频率为 0.29 的新节点：


继续合并 I3 和新节点，得到一个频率为 0.41 的新节点：


接着合并 I2 和新节点，得到一个频率为 0.55 的新节点：


再合并 I1 和新节点，得到一个频率为 0.72 的新节点：


最后合并 I0 和新节点，得到一棵完整的 Huffman 树：


- 根据 Huffman 树，对每个节点进行编码。从根节点开始，向左走为编码 0，向右走为编码 1。最终得到以下表格：

| 指令 | 使用频率 | Huffman 编码 |
| ---- | -------- | ------------ |
| I9 | 0.01 | 1111111110 |
| I8 | 0.02 | 1111111111 |
| I7 | 0.04 | 111111100 |
| I6 | 0.05 | 11111100 |
| I5 | 0.08 | 111110 |
| I4 | 0.09 | 11110 |
| I3 | 0.12 | 1110 |
| I2 | 0.14 | 110 |
| I1 | 0.17 | 10 |
| I0 | 0.28 | 0 |

- 计算 Huffman 编码的平均长度 $L2$ 和编码冗余量 $R2$。

平均长度 $L2 = \sum_{i=0}^{9} p_i l_i$，其中 $l_i$ 表示第 $i$ 条指令的 Huffman 编码长度。

代入数据得，$L2 = 0.01 \times 10 + 0.02 \times 10 + \cdots + 0.28 \times 1 \approx 2.65$。

编码冗余量 $R2 = L2 - H \approx -0.405$，说明 Huffman 编码比等长操作码编码更加紧凑。

假设信源X={x1，x2，x3，x4，x5，x6}对应频率P={0.40,0.20,0.12,0.11,0.09,0.08},对应概率给出码字，平均码长，编码效率

给出码字需要进行霍夫曼编码或者香农-费诺编码。这里以霍夫曼编码为例，步骤如下：

1. 将所有的事件按照概率从大到小排序，得到新的概率P'={0.40, 0.20, 0.12, 0.11, 0.09, 0.08}，对应的事件为{a, b, c, d, e, f}。

2. 从P'中选取概率最小的两个事件，合并成一个新的事件，概率为它们的概率之和。对于霍夫曼编码，我们可以将概率小的事件编码为0，概率大的事件编码为1。因此，合并后的新事件的编码为1，对应的概率为0.17。

3. 重复步骤2，直到所有的事件都被合并成一个事件。

4. 对于每个事件，将它的编码表示为从根节点到该事件的路径上的0和1，路径上的0表示向左走，1表示向右走。例如，a的编码为0，b的编码为10，c的编码为110，d的编码为1110，e的编码为11110，f的编码为11111。

因此，信源X的霍夫曼编码为：

a: 0
b: 10
c: 110
d: 1110
e: 11110
f: 11111

平均码长可以通过每个事件的概率乘以它的编码长度，再对所有事件的结果求和来计算。即：

L = Σ P(i) * len(c(i))

其中，P(i)表示信源X发生事件xi的概率，len(c(i))表示事件xi的编码长度。

将信源X的概率和编码长度代入公式中，得到：

L = 0.40 * 1 + 0.20 * 2 + 0.12 * 3 + 0.11 * 4 + 0.09 * 5 + 0.08 * 5

计算结果为：

L ≈ 2.42 bits

因此，信源X的平均码长约为2.42比特。

编码效率可以用信源熵除以平均码长来计算。即：

η = H(X) / L

其中，H(X)为信源X的熵，L为平均码长。

将信源X的熵和平均码长代入公式中，得到：

η ≈ 2.455 / 2.42 ≈ 1.014

编码效率约为1.014。